Theorem mxlelt 14607

Description: The maximal elements of the preset R.

Hypothesis

Ref	Expression
mxlelt.1	|- X = U.U.R

Assertion

Ref	Expression
mxlelt	|- (R e. S -> (mxl` R) = {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)})

Distinct variable groups:   R,a,b   X,a

Proof of Theorem mxlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (R e. S -> R e. _V)
2		uniexg 3795	. . . . 5 |- (R e. S -> U.R e. _V)
3		uniexg 3795	. . . . 5 |- (U.R e. _V -> U.U.R e. _V)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (R e. S -> U.U.R e. _V)
5		mxlelt.1	. . . 4 |- X = U.U.R
6	4, 5	syl5eqel 1975	. . 3 |- (R e. S -> X e. _V)
7		rabexg 3460	. . 3 |- (X e. _V -> {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)} e. _V)
8	6, 7	syl 12	. 2 |- (R e. S -> {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)} e. _V)
9		unieq 3185	. . . . . 6 |- (r = R -> U.r = U.R)
10	9	unieqd 3188	. . . . 5 |- (r = R -> U.U.r = U.U.R)
11	10, 5	syl6eqr 1946	. . . 4 |- (r = R -> U.U.r = X)
12	11	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (r = R -> (b e. U.U.r <-> b e. X))
13		breq 3340	. . . . . . 7 |- (r = R -> (arb <-> aRb))
14	13	imbi1d 675	. . . . . 6 |- (r = R -> ((arb -> a = b) <-> (aRb -> a = b)))
15	12, 14	imbi12d 688	. . . . 5 |- (r = R -> ((b e. U.U.r -> (arb -> a = b)) <-> (b e. X -> (aRb -> a = b))))
16	15	ralbidv2 2125	. . . 4 |- (r = R -> (A.b e. U.U.r(arb -> a = b) <-> A.b e. X (aRb -> a = b)))
17	11, 16	rabeqbidv 2290	. . 3 |- (r = R -> {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)} = {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)})
18		df-mxl 14589	. . . 4 |- mxl = {<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}}
19		relopab 4104	. . . . 5 |- Rel {<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}}
20		resid 4258	. . . . 5 |- (Rel {<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}} -> ({<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}} |` _V) = {<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}})
21	19, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}} |` _V) = {<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}}
22		resopab 4252	. . . 4 |- ({<.r, x>. | x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)}} |` _V) = {<.r, x>. | (r e. _V /\ x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)})}
23	18, 21, 22	3eqtr2i 1915	. . 3 |- mxl = {<.r, x>. | (r e. _V /\ x = {a e. U.U.r | A.b e. U.U.r(arb -> a = b)})}
24	17, 23	fvopab4g 4742	. 2 |- ((R e. _V /\ {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)} e. _V) -> (mxl` R) = {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)})
25	1, 8, 24	syl11anc 524	1 |- (R e. S -> (mxl` R) = {a e. X | A.b e. X (aRb -> a = b)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   |` cres 3988  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  mxlcmxl 14556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mxl 14589

Copyright terms: Public domain