MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrval2 Structured version   Unicode version

Theorem mvrval2 17620
Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
mvrval2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mvrval2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Distinct variable groups:    y, D    y, W    y, h, I   
h, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    D( h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    F( y, h)    V( y, h)    W( h)    Y( y, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
7 mvrval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mvrval 17619 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
98fveq1d 5802 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F ) )
10 mvrval2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
11 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  <->  F  =  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
1211ifbid 3920 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
14 fvex 5810 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
154, 14eqeltri 2538 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
16 fvex 5810 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
173, 16eqeltri 2538 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
1815, 17ifex 3967 . . . 4  |-  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
1912, 13, 18fvmpt 5884 . . 3  |-  ( F  e.  D  ->  (
( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) `  F )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
2010, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
219, 20eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078   ifcif 3900    |-> cmpt 4459   `'ccnv 4948   "cima 4952   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    ^m cmap 7325   Fincfn 7421   0cc0 9394   1c1 9395   NNcn 10434   NN0cn0 10691   0gc0g 14498   1rcur 16726   mVar cmvr 17543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-mvr 17548
This theorem is referenced by:  mvrid  17621  mvrf1  17623  mvrcl  17653
  Copyright terms: Public domain W3C validator