MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrval2 Structured version   Unicode version

Theorem mvrval2 18191
Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
mvrval2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mvrval2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Distinct variable groups:    y, D    y, W    y, h, I   
h, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    D( h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    F( y, h)    V( y, h)    W( h)    Y( y, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
7 mvrval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mvrval 18190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
98fveq1d 5776 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F ) )
10 mvrval2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
11 eqeq1 2386 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  <->  F  =  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
1211ifbid 3879 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
13 eqid 2382 . . . 4  |-  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
14 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
154, 14eqeltri 2466 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
16 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
173, 16eqeltri 2466 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
1815, 17ifex 3925 . . . 4  |-  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
1912, 13, 18fvmpt 5857 . . 3  |-  ( F  e.  D  ->  (
( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) `  F )  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
2010, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
219, 20eqtrd 2423 1  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) `  F
)  =  if ( F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736   _Vcvv 3034   ifcif 3857    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4912   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404   NNcn 10452   NN0cn0 10712   0gc0g 14847   1rcur 17266   mVar cmvr 18114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-mvr 18119
This theorem is referenced by:  mvrid  18192  mvrf1  18194  mvrcl  18224
  Copyright terms: Public domain W3C validator