MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrval Structured version   Unicode version

Theorem mvrval 17945
Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mvrval  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    .0. , f    .1. , f    y, f, D   
y, W    f, h, I, y    R, f    f, X, h, y
Allowed substitution hints:    ph( y, f, h)    D( h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    V( y, f, h)    W( f, h)    Y( y, f, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrfval 17944 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
87fveq1d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) `
 X ) )
9 mvrval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
10 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  =  x  <->  y  =  X ) )
1110ifbid 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
1211mpteq2dv 4540 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )
1312eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) )  <->  f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
1413ifbid 3967 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1514mpteq2dv 4540 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
16 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
17 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
182, 17rabex2 4606 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1918mptex 6142 . . . 4  |-  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V
2015, 16, 19fvmpt 5957 . . 3  |-  ( X  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) ) `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
219, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) `  X )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
228, 21eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118   ifcif 3945    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505   NNcn 10548   NN0cn0 10807   0gc0g 14711   1rcur 17023   mVar cmvr 17869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-mvr 17874
This theorem is referenced by:  mvrval2  17946  mplcoe3  17996  mplcoe3OLD  17997  evlslem1  18052
  Copyright terms: Public domain W3C validator