MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrval Structured version   Unicode version

Theorem mvrval 17506
Description: Value of the generating elements of the power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrfval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mvrfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrfval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrfval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrfval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
mvrval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mvrval  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    .0. , f    .1. , f    y, f, D   
y, W    f, h, I, y    R, f    f, X, h, y
Allowed substitution hints:    ph( y, f, h)    D( h)    R( y, h)    .1. ( y, h)    V( y, f, h)    W( f, h)    Y( y, f, h)    .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvrval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2 mvrfval.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 mvrfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mvrfval.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mvrfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mvrfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Y )
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrfval 17505 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
87fveq1d 5705 . 2  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) `
 X ) )
9 mvrval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
10 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  =  x  <->  y  =  X ) )
1110ifbid 3823 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
1211mpteq2dv 4391 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )
1312eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) )  <->  f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
1413ifbid 3823 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1514mpteq2dv 4391 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
17 ovex 6128 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1817rabex 4455 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
192, 18eqeltri 2513 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
2019mptex 5960 . . . 4  |-  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V
2115, 16, 20fvmpt 5786 . . 3  |-  ( X  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) ) `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
229, 21syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) `  X )  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
238, 22eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( f  e.  D  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984   ifcif 3803    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   "cima 4855   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   0cc0 9294   1c1 9295   NNcn 10334   NN0cn0 10591   0gc0g 14390   1rcur 16615   mVar cmvr 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-mvr 17436
This theorem is referenced by:  mvrval2  17507  mplcoe3  17557  mplcoe3OLD  17558  evlslem1  17613
  Copyright terms: Public domain W3C validator