MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf2 Structured version   Unicode version

Theorem mvrf2 17562
Description: The power series/polynomial variable function maps indices to polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mvrf2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mvrf2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf2.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 mvrf2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 17487 . . 3  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
7 ffn 5556 . . 3  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  ->  V  Fn  I )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
9 mvrf2.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 mvrf2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
114adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
125adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
13 simpr 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
149, 2, 10, 11, 12, 13mvrcl 17518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  B )
1514ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  B )
16 ffnfv 5866 . 2  |-  ( V : I --> B  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  B
) )
178, 15, 16sylanbrc 659 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   Ringcrg 16635   mPwSer cmps 17396   mVar cmvr 17397   mPoly cmpl 17398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-psr 17407  df-mvr 17408  df-mpl 17409
This theorem is referenced by:  mplind  17572  evlslem1  21425  evlseu  21426  evlsvar  21433
  Copyright terms: Public domain W3C validator