MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf2 Structured version   Unicode version

Theorem mvrf2 18027
Description: The power series/polynomial variable function maps indices to polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mvrf2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mvrf2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf2.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 mvrf2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 17950 . . 3  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
7 ffn 5737 . . 3  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  ->  V  Fn  I )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
9 mvrf2.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 mvrf2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
114adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
125adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
13 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
149, 2, 10, 11, 12, 13mvrcl 17981 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  B )
1514ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  B )
16 ffnfv 6058 . 2  |-  ( V : I --> B  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  B
) )
178, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   Ringcrg 17070   mPwSer cmps 17870   mVar cmvr 17871   mPoly cmpl 17872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877
This theorem is referenced by:  mplind  18037  evlslem1  18054  evlseu  18055  evlsvar  18062
  Copyright terms: Public domain W3C validator