MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf2 Unicode version

Theorem mvrf2 16507
Description: The power series/polynomial variable function maps indices to polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mvrf2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mvrf2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf2.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 mvrf2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 16443 . . 3  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
7 ffn 5550 . . 3  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  ->  V  Fn  I )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
9 mvrf2.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 mvrf2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
114adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
125adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
13 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
149, 2, 10, 11, 12, 13mvrcl 16467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  B )
1514ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  B )
16 ffnfv 5853 . 2  |-  ( V : I --> B  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  B
) )
178, 15, 16sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   Ringcrg 15615   mPwSer cmps 16361   mVar cmvr 16362   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  mplind  16517  evlslem1  19889  evlseu  19890  evlsvar  19897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator