MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mvrf 18660
Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing  X
i for each  i. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables  f  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3ringidcl 17813 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
51, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
6 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6ring0cl 17814 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
95, 8ifcld 3926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
109ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  R )
)
11 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
1210, 11fmptd 6051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
13 fvex 5880 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
14 ovex 6323 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1514rabex 4557 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1613, 15elmap 7505 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
1712, 16sylibr 216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
18 mvrf.s . . . . . 6  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
19 eqid 2453 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
20 mvrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
21 mvrf.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2218, 2, 19, 20, 21psrbas 18614 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2322adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2417, 23eleqtrrd 2534 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  B )
25 eqid 2453 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2624, 25fmptd 6051 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B )
27 mvrf.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2827, 19, 6, 3, 21, 1mvrfval 18656 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
2928feq1d 5719 . 2  |-  ( ph  ->  ( V : I --> B  <->  ( x  e.  I  |->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B ) )
3026, 29mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {crab 2743   ifcif 3883    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   0cc0 9544   1c1 9545   NNcn 10616   NN0cn0 10876   Basecbs 15133   0gc0g 15350   1rcur 17747   Ringcrg 17792   mPwSer cmps 18587   mVar cmvr 18588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-tset 15221  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-psr 18592  df-mvr 18593
This theorem is referenced by:  mvrf1  18661  mvrcl2  18662  subrgmvrf  18698  mplbas2  18706  mvrf2  18727  evlseu  18751
  Copyright terms: Public domain W3C validator