MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Unicode version

Theorem mvrf 17509
Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing  X
i for each  i. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mvrf  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables  f  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3rngidcl 16677 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
6 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6rng0cl 16678 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
9 ifcl 3843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
105, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
1110ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  R )
)
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
1311, 12fmptd 5879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
14 fvex 5713 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
15 ovex 6128 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4455 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16elmap 7253 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) : { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
1813, 17sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
19 mvrf.s . . . . . 6  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
21 mvrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
22 mvrf.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2319, 2, 20, 21, 22psrbas 17460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) )
2518, 24eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  B )
26 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2725, 26fmptd 5879 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B )
28 mvrf.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
2928, 20, 6, 3, 22, 1mvrfval 17505 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( f  e.  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  |->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
3029feq1d 5558 . 2  |-  ( ph  ->  ( V : I --> B  <->  ( x  e.  I  |->  ( f  e. 
{ h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( f  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B ) )
3127, 30mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   ifcif 3803    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   0cc0 9294   1c1 9295   NNcn 10334   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   0gc0g 14390   1rcur 16615   Ringcrg 16657   mPwSer cmps 17430   mVar cmvr 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-psr 17435  df-mvr 17436
This theorem is referenced by:  mvrf1  17510  mvrcl2  17511  subrgmvrf  17553  mplbas2  17563  mplbas2OLD  17564  mvrf2  17586  evlseu  17614
  Copyright terms: Public domain W3C validator