MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrcl Structured version   Unicode version

Theorem mvrcl 17910
Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrcl.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mvrcl.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mvrcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mvrcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mvrcl  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem mvrcl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrcl.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 mvrcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrcl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 mvrcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrcl2 17881 . 2  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
8 fvex 5876 . . . 4  |-  ( V `
 X )  e. 
_V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  e.  _V )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
121, 10, 11, 3, 7psrelbas 17831 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V `  X
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
13 ffun 5733 . . . 4  |-  ( ( V `  X ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  Fun  ( V `  X ) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( V `  X ) )
15 fvex 5876 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
17 snfi 7596 . . . 4  |-  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) }  e.  Fin
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) }  e.  Fin )
19 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
214adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  I  e.  W )
225adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
236adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  X  e.  I )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )
25 eldifsn 4152 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } )  <->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  /\  x  =/=  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
2624, 25sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  /\  x  =/=  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ) )
2726simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  x  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
282, 11, 19, 20, 21, 22, 23, 27mvrval2 17877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  ( ( V `  X ) `  x )  =  if ( x  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
2926simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  x  =/=  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )
3029neneqd 2669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  -.  x  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) )
31 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  ->  if (
x  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  if (
x  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
3328, 32eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  ( ( V `  X ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
3412, 33suppss 6930 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V `  X ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } )
35 suppssfifsupp 7844 . . 3  |-  ( ( ( ( V `  X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( V `  X )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) }  e.  Fin  /\  ( ( V `  X ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) } ) )  ->  ( V `  X ) finSupp  ( 0g `  R ) )
369, 14, 16, 18, 34, 35syl32anc 1236 . 2  |-  ( ph  ->  ( V `  X
) finSupp  ( 0g `  R
) )
37 mvrcl.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
38 mvrcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3937, 1, 3, 19, 38mplelbas 17886 . 2  |-  ( ( V `  X )  e.  B  <->  ( ( V `  X )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( V `  X ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
407, 36, 39sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   0cc0 9492   1c1 9493   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   0gc0g 14695   1rcur 16955   Ringcrg 17000   mPwSer cmps 17799   mVar cmvr 17800   mPoly cmpl 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-psr 17804  df-mvr 17805  df-mpl 17806
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  17923  mplcoe3  17927  mplcoe3OLD  17928  mplcoe5lem  17929  mplcoe5  17930  mplcoe2  17931  mplcoe2OLD  17932  mplbas2  17933  mplbas2OLD  17934  mvrf2  17956  mpfproj  17999  mpfind  18004  vr1cl  18057
  Copyright terms: Public domain W3C validator