Theorem mvecrtol2 14820

Description: Moving a vector from the right member of an equation into the left member.

Hypotheses

Ref	Expression
vwit.1	|- 0w = (Id` +w )
vwit.2	|- +w = (1st` (2nd` R))
vwit.3	|- -w = ( /g ` +w )
vwit.4	|- W = ran +w

Assertion

Ref	Expression
mvecrtol2	|- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V1 = (V2+w V3) <-> (V1-w V2) = V3))

Proof of Theorem mvecrtol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vwit.2	. . . . . 6 |- +w = (1st` (2nd` R))
2	1	vecax1 14796	. . . . 5 |- (R e. Vec -> +w e. Abel)
3		ablgrp 9410	. . . . 5 |- (+w e. Abel -> +w e. Grp)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (R e. Vec -> +w e. Grp)
5	4	adantr 425	. . 3 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> +w e. Grp)
6		simpr1 882	. . 3 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> V1 e. W)
7		vwit.4	. . . . 5 |- W = ran +w
8	1, 7	sum2vv 14805	. . . 4 |- ((R e. Vec /\ V2 e. W /\ V3 e. W) -> (V2+w V3) e. W)
9	8	3adant3r1 1077	. . 3 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2+w V3) e. W)
10		simpr2 883	. . 3 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> V2 e. W)
11		vwit.3	. . . 4 |- -w = ( /g ` +w )
12	7, 11	grpdrcan 14738	. . 3 |- ((+w e. Grp /\ (V1 e. W /\ (V2+w V3) e. W /\ V2 e. W)) -> ((V1-w V2) = ((V2+w V3)-w V2) <-> V1 = (V2+w V3)))
13	5, 6, 9, 10, 12	syl13anc 1102	. 2 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V1-w V2) = ((V2+w V3)-w V2) <-> V1 = (V2+w V3)))
14	1, 7	addvecom 14809	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2+w V3) = (V3+w V2))
15	14	3adantr1 1035	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2+w V3) = (V3+w V2))
16	15	opreq1d 4897	. . . 4 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V2+w V3)-w V2) = ((V3+w V2)-w V2))
17		simpl 346	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> R e. Vec)
18	1, 7	sum2vv 14805	. . . . . . . . . . 11 |- ((R e. Vec /\ V3 e. W /\ V2 e. W) -> (V3+w V2) e. W)
19	18	3exp 1066	. . . . . . . . . 10 |- (R e. Vec -> (V3 e. W -> (V2 e. W -> (V3+w V2) e. W)))
20	19	com3l 38	. . . . . . . . 9 |- (V3 e. W -> (V2 e. W -> (R e. Vec -> (V3+w V2) e. W)))
21	20	impcom 378	. . . . . . . 8 |- ((V2 e. W /\ V3 e. W) -> (R e. Vec -> (V3+w V2) e. W))
22	21	3adant1 894	. . . . . . 7 |- ((V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W) -> (R e. Vec -> (V3+w V2) e. W))
23	22	impcom 378	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w V2) e. W)
24		vwit.1	. . . . . . 7 |- 0w = (Id` +w )
25		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (inv` +w ) = (inv` +w )
26	24, 1, 11, 7, 25	sub2vec 14815	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ ((V3+w V2) e. W /\ V2 e. W)) -> ((V3+w V2)-w V2) = ((V3+w V2)+w ((inv` +w )` V2)))
27	17, 23, 10, 26	syl12anc 1098	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V3+w V2)-w V2) = ((V3+w V2)+w ((inv` +w )` V2)))
28		simpr3 884	. . . . . . 7 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> V3 e. W)
29	1	rneqi 4187	. . . . . . . . . 10 |- ran +w = ran (1st` (2nd` R))
30	7, 29	eqtri 1908	. . . . . . . . 9 |- W = ran (1st` (2nd` R))
31	1	fveq2i 4684	. . . . . . . . 9 |- (inv` +w ) = (inv` (1st` (2nd` R)))
32	30, 31	claddinvvec 14803	. . . . . . . 8 |- ((R e. Vec /\ V2 e. W) -> ((inv` +w )` V2) e. W)
33	32	3ad2antr2 1042	. . . . . . 7 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((inv` +w )` V2) e. W)
34	28, 10, 33	3jca 1050	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3 e. W /\ V2 e. W /\ ((inv` +w )` V2) e. W))
35	1, 7	addvecass 14808	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V3 e. W /\ V2 e. W /\ ((inv` +w )` V2) e. W)) -> (V3+w (V2+w ((inv` +w )` V2))) = ((V3+w V2)+w ((inv` +w )` V2)))
36	34, 35	syldan 516	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w (V2+w ((inv` +w )` V2))) = ((V3+w V2)+w ((inv` +w )` V2)))
37	24, 1, 11, 7, 25	sub2vec 14815	. . . . . . . 8 |- ((R e. Vec /\ (V2 e. W /\ V2 e. W)) -> (V2-w V2) = (V2+w ((inv` +w )` V2)))
38		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- ((V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W) -> V2 e. W)
39	38, 38	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W) -> (V2 e. W /\ V2 e. W))
40	37, 39	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2-w V2) = (V2+w ((inv` +w )` V2)))
41	40	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2+w ((inv` +w )` V2)) = (V2-w V2))
42	41	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w (V2+w ((inv` +w )` V2))) = (V3+w (V2-w V2)))
43	27, 36, 42	3eqtr2d 1932	. . . 4 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V3+w V2)-w V2) = (V3+w (V2-w V2)))
44	24, 1, 11, 7	vwit 14814	. . . . . . 7 |- ((R e. Vec /\ V2 e. W) -> (V2-w V2) = 0w )
45	44	3ad2antr2 1042	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V2-w V2) = 0w )
46	45	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w (V2-w V2)) = (V3+w 0w ))
47	1, 7, 24	addnull1 14806	. . . . . 6 |- ((R e. Vec /\ V3 e. W) -> (V3+w 0w ) = V3)
48	47	3ad2antr3 1043	. . . . 5 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w 0w ) = V3)
49	46, 48	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V3+w (V2-w V2)) = V3)
50	16, 43, 49	3eqtrd 1929	. . 3 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V2+w V3)-w V2) = V3)
51	50	eqeq2d 1895	. 2 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> ((V1-w V2) = ((V2+w V3)-w V2) <-> (V1-w V2) = V3))
52	13, 51	bitr3d 589	1 |- ((R e. Vec /\ (V1 e. W /\ V2 e. W /\ V3 e. W)) -> (V1 = (V2+w V3) <-> (V1-w V2) = V3))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  Grpcgr 9311  Idcgi 9312  invcgn 9313   /g cgs 9314  Abelcabl 9407  Veccvec 14792

This theorem is referenced by:  mulveczer 14822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vec 14793

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