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Theorem mvdco 17041
Description: Composing two permutations moves at most the union of the points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mvdco  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )

Proof of Theorem mvdco
StepHypRef Expression
1 inundif 3879 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) )  =  G
21coeq2i 5015 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( F  o.  G
)
3 coundi 5356 . . . . . . 7  |-  ( F  o.  ( ( G  i^i  _I  )  u.  ( G  \  _I  ) ) )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
42, 3eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
54difeq1i 3585 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) ) 
\  _I  )
6 difundir 3732 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  u.  ( F  o.  ( G  \  _I  )
) )  \  _I  )  =  ( (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
75, 6eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  =  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
87dmeqi 5056 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  dom  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)
9 dmun 5061 . . 3  |-  dom  (
( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )
)  =  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
108, 9eqtri 2458 . 2  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  =  ( dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )
11 inss2 3689 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  _I  )  C_  _I
12 coss2 5011 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  _I  )  C_  _I  ->  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  ( F  o.  _I  )
14 cocnvcnv1 5366 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  ( F  o.  _I  )
15 relcnv 5227 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' `' F
16 coi1 5371 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' `' F  ->  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  o.  _I  )  =  `' `' F
1814, 17eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( F  o.  _I  )  =  `' `' F
19 cnvcnvss 5310 . . . . . 6  |-  `' `' F  C_  F
2018, 19eqsstri 3500 . . . . 5  |-  ( F  o.  _I  )  C_  F
2113, 20sstri 3479 . . . 4  |-  ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  C_  F
22 ssdif 3606 . . . 4  |-  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
C_  F  ->  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )
)
23 dmss 5054 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  \  _I  )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  i^i  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  \  _I  )
25 difss 3598 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( G 
\  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
26 dmss 5054 . . . . 5  |-  ( ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )
28 dmcoss 5114 . . . 4  |-  dom  ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  C_  dom  ( G  \  _I  )
2927, 28sstri 3479 . . 3  |-  dom  (
( F  o.  ( G  \  _I  ) ) 
\  _I  )  C_  dom  ( G  \  _I  )
30 unss12 3644 . . 3  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  ) )  \  _I  )  C_  dom  ( F 
\  _I  )  /\  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  )
)  \  _I  )  C_ 
dom  ( G  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) ) )
3124, 29, 30mp2an 676 . 2  |-  ( dom  ( ( F  o.  ( G  i^i  _I  )
)  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  ( G  \  _I  ) )  \  _I  ) )  C_  ( dom  ( F  \  _I  )  u.  dom  ( G 
\  _I  ) )
3210, 31eqsstri 3500 1  |-  dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( F 
\  _I  )  u. 
dom  ( G  \  _I  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442    _I cid 4764   `'ccnv 4853   dom cdm 4854    o. ccom 4858   Rel wrel 4859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866
This theorem is referenced by:  f1omvdco2  17044  symgsssg  17063  symgfisg  17064  symggen  17066
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