MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musumsum Structured version   Unicode version

Theorem musumsum 23193
Description: Evaluate a collapsing sum over the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
musumsum.1  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
musumsum.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
musumsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
musumsum.4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
musumsum.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
musumsum  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Distinct variable groups:    k, m, A    k, n, m    ph, k, m    B, k    C, m
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( m, n)    C( k, n)

Proof of Theorem musumsum
StepHypRef Expression
1 musumsum.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
21sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
3 musum 23192 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( mmu `  k
)  =  if ( m  =  1 ,  1 ,  0 ) )
54oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B ) )
6 fzfid 12046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
7 sgmss 23105 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
9 ssfi 7737 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  e.  Fin )
11 musumsum.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  B  e.  CC )
12 elrabi 3258 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  k  e.  NN )
13 mucl 23140 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
mmu `  k )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  ZZ )
1514zcnd 10963 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1615adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  A )  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }
)  ->  ( mmu `  k )  e.  CC )
1710, 11, 16fsummulc1 13556 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( mmu `  k )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
) )
18 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 1  x.  B ) )
19 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  ( 0  x.  B ) )
2018, 19ifsb 3952 . . . . 5  |-  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )
21 elsn 4041 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { 1 }  <-> 
m  =  1 )
2221bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  <->  m  e.  { 1 } )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
m  =  1  <->  m  e.  { 1 } ) )
24 mulid2 9590 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
25 mul02 9753 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  B )  =  0 )
2623, 24, 25ifbieq12d 3966 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2711, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  =  1 ,  ( 1  x.  B ) ,  ( 0  x.  B ) )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
2820, 27syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  ( if ( m  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  B )  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B ,  0 ) )
295, 17, 283eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m } 
( ( mmu `  k )  x.  B
)  =  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
3029sumeq2dv 13481 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
31 musumsum.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  A )
3231snssd 4172 . . 3  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  A )
3332sselda 3504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  m  e.  A )
3433, 11syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { 1 } )  ->  B  e.  CC )
3534ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  {
1 } B  e.  CC )
36 musumsum.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3736olcd 393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  A  e.  Fin )
)
38 sumss2 13504 . . 3  |-  ( ( ( { 1 } 
C_  A  /\  A. m  e.  { 1 } B  e.  CC )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  A  e.  Fin ) )  ->  sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  {
1 } ,  B ,  0 ) )
3932, 35, 37, 38syl21anc 1227 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  { 1 } ,  B , 
0 ) )
4011ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  A  B  e.  CC )
41 musumsum.1 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  B  =  C )
4241eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4342rspcv 3210 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4431, 40, 43sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4541sumsn 13519 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4631, 44, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { 1 } B  =  C )
4730, 39, 463eqtr2d 2514 1  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  sum_ k  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  m }  ( (
mmu `  k )  x.  B )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   sum_csu 13464    || cdivides 13840   mmucmu 23093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-dvds 13841  df-gcd 13997  df-prm 14070  df-pc 14213  df-mu 23099
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  23404  dchrvmasum2lem  23406  mudivsum  23440  mulogsum  23442  mulog2sumlem2  23445
  Copyright terms: Public domain W3C validator