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Theorem mumullem2 22461
Description: Lemma for mumul 22462. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  ( ( mmu `  A )  =/=  0  /\  ( mmu `  B
)  =/=  0 ) )  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =/=  0
)

Proof of Theorem mumullem2
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2847 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  pCnt  A )  <_  1  /\  ( p 
pCnt  B )  <_  1
)  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1  /\  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  B )  <_  1 ) )
2 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
3 simpl1 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  NN )
42, 3pccld 13913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
54nn0red 10633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  RR )
6 simpl2 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  B  e.  NN )
72, 6pccld 13913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  NN0 )
87nn0red 10633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  RR )
9 1red 9397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
10 le2add 9817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  pCnt  A )  e.  RR  /\  ( p  pCnt  B )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )  ->  ( (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 )  -> 
( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  <_ 
( 1  +  1 ) ) )
115, 8, 9, 9, 10syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B
)  <_  1 )  ->  ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  <_  ( 1  +  1 ) ) )
12 ax-1ne0 9347 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
13 simpl3 988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  gcd  B
)  =  1 )
1413oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  ( p  pCnt  1 ) )
153nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
166nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  B  e.  ZZ )
17 pcgcd 13940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
182, 15, 16, 17syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ,  ( p 
pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B )
) )
19 pc1 13918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p 
pCnt  1 )  =  0 )
2019adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  1
)  =  0 )
2114, 18, 203eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  =  0 )
22 ifid 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  1 ,  1 )  =  1
23 ifeq12 3803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  =  ( p 
pCnt  A )  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) )  ->  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  1 ,  1 )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
2422, 23syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  =  ( p 
pCnt  A )  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) )  ->  1  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
2524eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  =  ( p 
pCnt  A )  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) )  ->  (
1  =  0  <->  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  =  0 ) )
2621, 25syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  =  ( p  pCnt  A
)  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) )  ->  1  = 
0 ) )
2726necon3ad 2642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  =/=  0  ->  -.  ( 1  =  ( p  pCnt  A
)  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) ) ) )
2812, 27mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  -.  ( 1  =  ( p  pCnt  A )  /\  1  =  (
p  pCnt  B )
) )
29 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
305recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  CC )
31 subeq0 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  pCnt  A )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  <->  1  =  ( p 
pCnt  A ) ) )
3229, 30, 31sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  <->  1  =  ( p 
pCnt  A ) ) )
338recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  CC )
34 subeq0 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  pCnt  B )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0  <->  1  =  ( p 
pCnt  B ) ) )
3529, 33, 34sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0  <->  1  =  ( p 
pCnt  B ) ) )
3632, 35anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 1  -  ( p  pCnt  A ) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 )  <->  ( 1  =  ( p  pCnt  A
)  /\  1  =  ( p  pCnt  B ) ) ) )
3728, 36mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  -.  ( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) )
3837adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  -.  ( (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B ) )  =  0 ) )
39 eqcom 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  +  1 )  =  ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  <->  ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  =  ( 1  +  1 ) )
40 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
4140, 40readdcli 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
4241recni 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
434, 7nn0addcld 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e. 
NN0 )
4443nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e.  RR )
4544recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e.  CC )
46 subeq0 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  +  1 )  e.  CC  /\  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e.  CC )  ->  (
( ( 1  +  1 )  -  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) )
4742, 45, 46sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 1  +  1 )  -  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) )
4847, 39syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 1  +  1 )  -  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( (
p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  =  ( 1  +  1 ) ) )
499recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  e.  CC )
5049, 49, 30, 33addsub4d 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  +  1 )  -  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  ( ( 1  -  ( p  pCnt  A ) )  +  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) ) )
5150eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 1  +  1 )  -  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0 ) )
5248, 51bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  =  ( 1  +  1 )  <->  ( (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0 ) )
5352adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  =  ( 1  +  1 )  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  +  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0 ) )
54 subge0 9848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  1
) )
5540, 5, 54sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  1
) )
56 subge0 9848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  B )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( p 
pCnt  B ) )  <->  ( p  pCnt  B )  <_  1
) )
5740, 8, 56sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( p 
pCnt  B ) )  <->  ( p  pCnt  B )  <_  1
) )
5855, 57anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 0  <_ 
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  /\  0  <_  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) )  <-> 
( ( p  pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) ) )
59 resubcl 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  e.  RR )
6040, 5, 59sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  e.  RR )
61 resubcl 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  B )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
p  pCnt  B )
)  e.  RR )
6240, 8, 61sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  -  (
p  pCnt  B )
)  e.  RR )
63 add20 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( p  pCnt  A ) ) )  /\  ( ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( p  pCnt  B ) ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) )
6463an4s 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  e.  RR  /\  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  /\  0  <_  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) ) )  ->  ( (
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  +  ( 1  -  ( p  pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( ( 1  -  ( p  pCnt  A ) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  e.  RR  /\  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
)  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  /\  0  <_  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  ->  (
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  +  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) )  =  0  <->  ( (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B ) )  =  0 ) ) ) )
6660, 62, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 0  <_ 
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  /\  0  <_  ( 1  -  ( p 
pCnt  B ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) ) )
6758, 66sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B
)  <_  1 )  ->  ( ( ( 1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) ) )
6867imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  ( p 
pCnt  A ) )  +  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
) )  =  0  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) )
6953, 68bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  =  ( 1  +  1 )  <-> 
( ( 1  -  ( p  pCnt  A
) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B
) )  =  0 ) ) )
7039, 69syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( ( 1  +  1 )  =  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  <->  ( (
1  -  ( p 
pCnt  A ) )  =  0  /\  ( 1  -  ( p  pCnt  B ) )  =  0 ) ) )
7170necon3abid 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( ( 1  +  1 )  =/=  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  <->  -.  (
( 1  -  (
p  pCnt  A )
)  =  0  /\  ( 1  -  (
p  pCnt  B )
)  =  0 ) ) )
7238, 71mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  /\  (
( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  =/=  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) )
7372ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B
)  <_  1 )  ->  ( 1  +  1 )  =/=  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) )
7411, 73jcad 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B
)  <_  1 )  ->  ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  <_  (
1  +  1 )  /\  ( 1  +  1 )  =/=  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) ) )
75 nnz 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
76 nnne0 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
7775, 76jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )
783, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )
79 nnz 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
80 nnne0 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
8179, 80jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )
826, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )
83 pcmul 13914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) ) )
842, 78, 82, 83syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) ) )
8584breq1d 4299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( A  x.  B ) )  <_  1  <->  ( (
p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  <_  1
) )
86 1nn0 10591 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
87 nn0leltp1 10699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e. 
NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  ( (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) )  <_ 
1  <->  ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  <  ( 1  +  1 ) ) )
8843, 86, 87sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  <_  1  <->  ( (
p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  <  (
1  +  1 ) ) )
89 ltlen 9472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  e.  RR  /\  ( 1  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) )  < 
( 1  +  1 )  <->  ( ( ( p  pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B ) )  <_  (
1  +  1 )  /\  ( 1  +  1 )  =/=  (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) ) )
9044, 41, 89sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  +  ( p  pCnt  B )
)  <  ( 1  +  1 )  <->  ( (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) )  <_ 
( 1  +  1 )  /\  ( 1  +  1 )  =/=  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) ) )
9185, 88, 903bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( A  x.  B ) )  <_  1  <->  ( (
( p  pCnt  A
)  +  ( p 
pCnt  B ) )  <_ 
( 1  +  1 )  /\  ( 1  +  1 )  =/=  ( ( p  pCnt  A )  +  ( p 
pCnt  B ) ) ) ) )
9274, 91sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( p 
pCnt  A )  <_  1  /\  ( p  pCnt  B
)  <_  1 )  ->  ( p  pCnt  ( A  x.  B ) )  <_  1 ) )
9392ralimdva 2792 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  ( p  pCnt  B )  <_  1 )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( A  x.  B ) )  <_ 
1 ) )
941, 93syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  B )  <_  1 )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( A  x.  B ) )  <_  1 ) )
95 issqf 22417 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
96 issqf 22417 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  (
( mmu `  B
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  B )  <_  1
) )
9795, 96bi2anan9 863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( mmu `  A )  =/=  0  /\  ( mmu `  B
)  =/=  0 )  <-> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  B )  <_  1 ) ) )
98973adant3 1003 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  (
( ( mmu `  A )  =/=  0  /\  ( mmu `  B
)  =/=  0 )  <-> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  1  /\  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  B )  <_  1 ) ) )
99 nnmulcl 10341 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
100993adant3 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  ( A  x.  B )  e.  NN )
101 issqf 22417 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  NN  ->  (
( mmu `  ( A  x.  B )
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  ( A  x.  B ) )  <_ 
1 ) )
102100, 101syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  (
( mmu `  ( A  x.  B )
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  ( A  x.  B ) )  <_ 
1 ) )
10394, 98, 1023imtr4d 268 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  (
( ( mmu `  A )  =/=  0  /\  ( mmu `  B
)  =/=  0 )  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =/=  0
) )
104103imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  /\  ( ( mmu `  A )  =/=  0  /\  ( mmu `  B
)  =/=  0 ) )  ->  ( mmu `  ( A  x.  B
) )  =/=  0
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642    gcd cgcd 13686   Primecprime 13759    pCnt cpc 13899   mmucmu 22375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-mu 22381
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