Theorem mumullem2 23579

Description: Lemma for mumul 23580. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem2	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Proof of Theorem mumullem2

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2984	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
2		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
3		simpl1 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
4	2, 3	pccld 14385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
5	4	nn0red 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
6		simpl2 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. NN )
7	2, 6	pccld 14385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
8	7	nn0red 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
9		1red 9628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. RR )
10		le2add 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) /\ ( 1 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
11	5, 8, 9, 9, 10	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
12		ax-1ne0 9578	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
13		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A gcd B ) = 1 )
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = ( p pCnt 1 ) )
15	3	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. ZZ )
16	6	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
17		pcgcd 14412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
19		pc1 14390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 )
22		ifid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = 1
23		ifeq12 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
24	22, 23	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
25	24	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> ( 1 = 0 <-> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = 0 ) )
27	26	necon3ad 2667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 =/= 0 -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) )
29		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
30	5	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. CC )
31		subeq0 9864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt A ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
32	29, 30, 31	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
33	8	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. CC )
34		subeq0 9864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt B ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
35	29, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
36	32, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) <-> ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
37	28, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
39		eqcom 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) )
40		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
41	40, 40	readdcli 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) e. RR
42	41	recni 9625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + 1 ) e. CC
43	4, 7	nn0addcld 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 )
44	43	nn0red 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR )
45	44	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC )
46		subeq0 9864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 + 1 ) e. CC /\ ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
48	47, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) ) )
49	9	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. CC )
50	49, 49, 30, 33	addsub4d 9997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
52	48, 51	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
54		subge0 10086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
55	40, 5, 54	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
56		subge0 10086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
57	40, 8, 56	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
58	55, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
59		resubcl 9902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
60	40, 5, 59	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
61		resubcl 9902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
62	40, 8, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
63		add20 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) ) /\ ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
64	63	an4s 826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
66	60, 62, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
67	58, 66	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
68	67	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
69	53, 68	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
70	39, 69	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
71	70	necon3abid 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
72	38, 71	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
73	72	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
74	11, 73	jcad 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
75		nnz 10907	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
76		nnne0 10589	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
77	75, 76	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
78	3, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
79		nnz 10907	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
80		nnne0 10589	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
81	79, 80	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
82	6, 81	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
83		pcmul 14386	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
84	2, 78, 82, 83	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
85	84	breq1d 4466	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 ) )
86		1nn0 10832	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
87		nn0leltp1 10943	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
88	43, 86, 87	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
89		ltlen 9703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR /\ ( 1 + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
90	44, 41, 89	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
91	85, 88, 90	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
92	74, 91	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
93	92	ralimdva 2865	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
94	1, 93	syl5bir 218	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
95		issqf 23535	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
96		issqf 23535	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( ( mmu ` B ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
97	95, 96	bi2anan9 873	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
98	97	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
99		nnmulcl 10579	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
100	99	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A x. B ) e. NN )
101		issqf 23535	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
102	100, 101	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
103	94, 98, 102	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 ) )
104	103	imp 429	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   gcd cgcd 14155   Primecprime 14228   pCnt cpc 14371   mmucmu 23493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-mu 23499

This theorem is referenced by:  mumul  23580