Theorem mumullem2 22518

Description: Lemma for mumul 22519. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem2	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Proof of Theorem mumullem2

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2849	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
2		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
3		simpl1 991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
4	2, 3	pccld 13917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
5	4	nn0red 10637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
6		simpl2 992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. NN )
7	2, 6	pccld 13917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
8	7	nn0red 10637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
9		1red 9401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. RR )
10		le2add 9821	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) /\ ( 1 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
11	5, 8, 9, 9, 10	syl22anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
12		ax-1ne0 9351	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
13		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A gcd B ) = 1 )
14	13	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = ( p pCnt 1 ) )
15	3	nnzd 10746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. ZZ )
16	6	nnzd 10746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
17		pcgcd 13944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
19		pc1 13922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 )
22		ifid 3826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = 1
23		ifeq12 3806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
24	22, 23	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
25	24	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> ( 1 = 0 <-> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = 0 ) )
27	26	necon3ad 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 =/= 0 -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) )
29		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
30	5	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. CC )
31		subeq0 9635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt A ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
32	29, 30, 31	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
33	8	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. CC )
34		subeq0 9635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt B ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
35	29, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
36	32, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) <-> ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
37	28, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
39		eqcom 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) )
40		1re 9385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
41	40, 40	readdcli 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) e. RR
42	41	recni 9398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + 1 ) e. CC
43	4, 7	nn0addcld 10640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 )
44	43	nn0red 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR )
45	44	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC )
46		subeq0 9635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 + 1 ) e. CC /\ ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
48	47, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) ) )
49	9	recnd 9412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. CC )
50	49, 49, 30, 33	addsub4d 9766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
52	48, 51	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
54		subge0 9852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
55	40, 5, 54	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
56		subge0 9852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
57	40, 8, 56	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
58	55, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
59		resubcl 9673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
60	40, 5, 59	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
61		resubcl 9673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
62	40, 8, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
63		add20 9851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) ) /\ ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
64	63	an4s 822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
66	60, 62, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
67	58, 66	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
68	67	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
69	53, 68	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
70	39, 69	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
71	70	necon3abid 2641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
72	38, 71	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
73	72	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
74	11, 73	jcad 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
75		nnz 10668	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
76		nnne0 10354	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
77	75, 76	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
78	3, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
79		nnz 10668	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
80		nnne0 10354	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
81	79, 80	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
82	6, 81	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
83		pcmul 13918	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
84	2, 78, 82, 83	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
85	84	breq1d 4302	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 ) )
86		1nn0 10595	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
87		nn0leltp1 10703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
88	43, 86, 87	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
89		ltlen 9476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR /\ ( 1 + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
90	44, 41, 89	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
91	85, 88, 90	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
92	74, 91	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
93	92	ralimdva 2794	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
94	1, 93	syl5bir 218	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
95		issqf 22474	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
96		issqf 22474	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( ( mmu ` B ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
97	95, 96	bi2anan9 868	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
98	97	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
99		nnmulcl 10345	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
100	99	3adant3 1008	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A x. B ) e. NN )
101		issqf 22474	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
102	100, 101	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
103	94, 98, 102	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 ) )
104	103	imp 429	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   ifcif 3791   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   gcd cgcd 13690   Primecprime 13763   pCnt cpc 13903   mmucmu 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-pc 13904  df-mu 22438

This theorem is referenced by:  mumul  22519