Theorem mumullem2 22461

Description: Lemma for mumul 22462. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem2	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Proof of Theorem mumullem2

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2847	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
2		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
3		simpl1 986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
4	2, 3	pccld 13913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
5	4	nn0red 10633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
6		simpl2 987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. NN )
7	2, 6	pccld 13913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
8	7	nn0red 10633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
9		1red 9397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. RR )
10		le2add 9817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) /\ ( 1 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
11	5, 8, 9, 9, 10	syl22anc 1214	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
12		ax-1ne0 9347	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
13		simpl3 988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A gcd B ) = 1 )
14	13	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = ( p pCnt 1 ) )
15	3	nnzd 10742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. ZZ )
16	6	nnzd 10742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
17		pcgcd 13940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
19		pc1 13918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
20	19	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 )
22		ifid 3823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = 1
23		ifeq12 3803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
24	22, 23	syl5eqr 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
25	24	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> ( 1 = 0 <-> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = 0 ) )
27	26	necon3ad 2642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 =/= 0 -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) )
29		ax-1cn 9336	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
30	5	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. CC )
31		subeq0 9631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt A ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
32	29, 30, 31	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
33	8	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. CC )
34		subeq0 9631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt B ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
35	29, 33, 34	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
36	32, 35	anbi12d 705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) <-> ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
37	28, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
38	37	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
39		eqcom 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) )
40		1re 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
41	40, 40	readdcli 9395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) e. RR
42	41	recni 9394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + 1 ) e. CC
43	4, 7	nn0addcld 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 )
44	43	nn0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR )
45	44	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC )
46		subeq0 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 + 1 ) e. CC /\ ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
48	47, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) ) )
49	9	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. CC )
50	49, 49, 30, 33	addsub4d 9762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
52	48, 51	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
53	52	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
54		subge0 9848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
55	40, 5, 54	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
56		subge0 9848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
57	40, 8, 56	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
58	55, 57	anbi12d 705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
59		resubcl 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
60	40, 5, 59	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
61		resubcl 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
62	40, 8, 61	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
63		add20 9847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) ) /\ ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
64	63	an4s 817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
66	60, 62, 65	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
67	58, 66	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
68	67	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
69	53, 68	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
70	39, 69	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
71	70	necon3abid 2639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
72	38, 71	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
73	72	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
74	11, 73	jcad 530	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
75		nnz 10664	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
76		nnne0 10350	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
77	75, 76	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
78	3, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
79		nnz 10664	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
80		nnne0 10350	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
81	79, 80	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
82	6, 81	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
83		pcmul 13914	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
84	2, 78, 82, 83	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
85	84	breq1d 4299	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 ) )
86		1nn0 10591	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
87		nn0leltp1 10699	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
88	43, 86, 87	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
89		ltlen 9472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR /\ ( 1 + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
90	44, 41, 89	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
91	85, 88, 90	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
92	74, 91	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
93	92	ralimdva 2792	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
94	1, 93	syl5bir 218	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
95		issqf 22417	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
96		issqf 22417	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( ( mmu ` B ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
97	95, 96	bi2anan9 863	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
98	97	3adant3 1003	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
99		nnmulcl 10341	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
100	99	3adant3 1003	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A x. B ) e. NN )
101		issqf 22417	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
102	100, 101	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
103	94, 98, 102	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 ) )
104	103	imp 429	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   gcd cgcd 13686   Primecprime 13759   pCnt cpc 13899   mmucmu 22375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-mu 22381

This theorem is referenced by:  mumul  22462