Theorem mumullem2 23210

Description: Lemma for mumul 23211. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem2	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Proof of Theorem mumullem2

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2989	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
2		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
3		simpl1 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
4	2, 3	pccld 14233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
5	4	nn0red 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. RR )
6		simpl2 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. NN )
7	2, 6	pccld 14233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. NN0 )
8	7	nn0red 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. RR )
9		1red 9611	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. RR )
10		le2add 10034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) /\ ( 1 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
11	5, 8, 9, 9, 10	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) ) )
12		ax-1ne0 9561	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
13		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A gcd B ) = 1 )
14	13	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = ( p pCnt 1 ) )
15	3	nnzd 10965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> A e. ZZ )
16	6	nnzd 10965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
17		pcgcd 14260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A gcd B ) ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
19		pc1 14238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt 1 ) = 0 )
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 )
22		ifid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = 1
23		ifeq12 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , 1 , 1 ) = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
24	22, 23	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) )
25	24	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> ( 1 = 0 <-> if ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt B ) , ( p pCnt A ) , ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) -> 1 = 0 ) )
27	26	necon3ad 2677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 =/= 0 -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) )
29		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
30	5	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. CC )
31		subeq0 9845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt A ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
32	29, 30, 31	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt A ) ) )
33	8	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt B ) e. CC )
34		subeq0 9845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p pCnt B ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
35	29, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 <-> 1 = ( p pCnt B ) ) )
36	32, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) <-> ( 1 = ( p pCnt A ) /\ 1 = ( p pCnt B ) ) ) )
37	28, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) )
39		eqcom 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) )
40		1re 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
41	40, 40	readdcli 9609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) e. RR
42	41	recni 9608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + 1 ) e. CC
43	4, 7	nn0addcld 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 )
44	43	nn0red 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR )
45	44	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC )
46		subeq0 9845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 + 1 ) e. CC /\ ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. CC ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
48	47, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) ) )
49	9	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. CC )
50	49, 49, 30, 33	addsub4d 9977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 + 1 ) - ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
52	48, 51	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 ) )
54		subge0 10065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
55	40, 5, 54	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) <-> ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
56		subge0 10065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
57	40, 8, 56	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) <-> ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
58	55, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) <-> ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
59		resubcl 9883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt A ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
60	40, 5, 59	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR )
61		resubcl 9883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( p pCnt B ) e. RR ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
62	40, 8, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR )
63		add20 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) ) /\ ( ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
64	63	an4s 824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
65	64	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) e. RR /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
66	60, 62, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 0 <_ ( 1 - ( p pCnt A ) ) /\ 0 <_ ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
67	58, 66	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) ) )
68	67	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) + ( 1 - ( p pCnt B ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
69	53, 68	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) = ( 1 + 1 ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
70	39, 69	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
71	70	necon3abid 2713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <-> -. ( ( 1 - ( p pCnt A ) ) = 0 /\ ( 1 - ( p pCnt B ) ) = 0 ) ) )
72	38, 71	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) /\ ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
73	72	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) )
74	11, 73	jcad 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
75		nnz 10886	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
76		nnne0 10568	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
77	75, 76	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
78	3, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) )
79		nnz 10886	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
80		nnne0 10568	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
81	79, 80	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
82	6, 81	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) )
83		pcmul 14234	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) /\ ( B e. ZZ /\ B =/= 0 ) ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
84	2, 78, 82, 83	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) = ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) )
85	84	breq1d 4457	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 ) )
86		1nn0 10811	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
87		nn0leltp1 10921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
88	43, 86, 87	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ 1 <-> ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) ) )
89		ltlen 9686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) e. RR /\ ( 1 + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
90	44, 41, 89	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) < ( 1 + 1 ) <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
91	85, 88, 90	3bitrd 279	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 <-> ( ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) <_ ( 1 + 1 ) /\ ( 1 + 1 ) =/= ( ( p pCnt A ) + ( p pCnt B ) ) ) ) )
92	74, 91	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
93	92	ralimdva 2872	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A. p e. Prime ( ( p pCnt A ) <_ 1 /\ ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
94	1, 93	syl5bir 218	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) -> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
95		issqf 23166	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 ) )
96		issqf 23166	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( ( mmu ` B ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) )
97	95, 96	bi2anan9 871	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
98	97	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) <-> ( A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ 1 /\ A. p e. Prime ( p pCnt B ) <_ 1 ) ) )
99		nnmulcl 10559	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
100	99	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( A x. B ) e. NN )
101		issqf 23166	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
102	100, 101	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 <-> A. p e. Prime ( p pCnt ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
103	94, 98, 102	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) -> ( ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 ) )
104	103	imp 429	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ ( A gcd B ) = 1 ) /\ ( ( mmu ` A ) =/= 0 /\ ( mmu ` B ) =/= 0 ) ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   gcd cgcd 14003   Primecprime 14076   pCnt cpc 14219   mmucmu 23124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-mu 23130

This theorem is referenced by:  mumul  23211