MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Unicode version

Theorem mulsuble0b 10410
Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 9874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
213adant3 1014 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
3 resubcl 9874 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
43ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
543adant1 1012 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
6 mulle0b 10409 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B ) )  <_ 
0  <->  ( ( ( A  -  B )  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B
) )  \/  (
0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B )  <_  0 ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( (
( A  -  B
)  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  \/  ( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 ) ) ) )
8 suble0 10062 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  -  B )  <_  0  <->  A  <_  B ) )
983adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  0  <->  A  <_  B ) )
10 subge0 10061 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
1110ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
12113adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
139, 12anbi12d 708 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  <_  0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
14 subge0 10061 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
15143adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
16 suble0 10062 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  0  <->  C  <_  B ) )
1716ancoms 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  0  <->  C  <_  B ) )
18173adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  0  <->  C  <_  B ) )
1915, 18anbi12d 708 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 )  <-> 
( B  <_  A  /\  C  <_  B ) ) )
20 ancom 448 . . . 4  |-  ( ( B  <_  A  /\  C  <_  B )  <->  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) )
2119, 20syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B
)  <_  0 )  <-> 
( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
2213, 21orbi12d 707 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( ( A  -  B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  \/  ( 0  <_  ( A  -  B )  /\  ( C  -  B )  <_  0 ) )  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )
237, 22bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  x.  ( C  -  B )
)  <_  0  <->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  \/  ( C  <_  B  /\  B  <_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203
This theorem is referenced by:  brbtwn2  24410
  Copyright terms: Public domain W3C validator