MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulresr Structured version   Unicode version

Theorem mulresr 9533
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 9474 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 mulcnsr 9530 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
32an4s 826 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
41, 1, 3mpanr12 685 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. (
( A  .R  B
)  +R  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>. )
5 00sr 9493 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
76oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
8 m1r 9476 . . . . . . 7  |-  -1R  e.  R.
9 00sr 9493 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
117, 10eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  0R
1211oveq2i 6307 . . . 4  |-  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( ( A  .R  B
)  +R  0R )
13 mulclsr 9478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
14 0idsr 9491 . . . . 5  |-  ( ( A  .R  B )  e.  R.  ->  (
( A  .R  B
)  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1612, 15syl5eq 2510 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( A  .R  B
) )
17 mulcomsr 9483 . . . . . 6  |-  ( 0R 
.R  B )  =  ( B  .R  0R )
18 00sr 9493 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( B  .R  0R )  =  0R )
1917, 18syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  0R )
20 00sr 9493 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
2119, 20oveqan12rd 6316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  ( 0R  +R  0R ) )
22 0idsr 9491 . . . . 5  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
231, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2421, 23syl6eq 2514 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  0R )
2516, 24opeq12d 4227 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>.  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
264, 25eqtrd 2498 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   <.cop 4038  (class class class)co 6296   R.cnr 9260   0Rc0r 9261   -1Rcm1r 9263    +R cplr 9264    .R cmr 9265    x. cmul 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-ni 9267  df-pli 9268  df-mi 9269  df-lti 9270  df-plpq 9303  df-mpq 9304  df-ltpq 9305  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-plq 9309  df-mq 9310  df-1nq 9311  df-rq 9312  df-ltnq 9313  df-np 9376  df-1p 9377  df-plp 9378  df-mp 9379  df-ltp 9380  df-enr 9450  df-nr 9451  df-plr 9452  df-mr 9453  df-0r 9455  df-m1r 9457  df-c 9515  df-mul 9521
This theorem is referenced by:  axmulrcl  9548  ax1rid  9555  axrrecex  9557  axpre-mulgt0  9562
  Copyright terms: Public domain W3C validator