Theorem mulresr 6409

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals.

Hypothesis

Ref	Expression
mulresr.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 6341	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 6406	. . . 4 |- (((A e. R. /\ 0R e. R.) /\ (B e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
3	2	an4s 566	. . 3 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
4	1, 1, 3	mpanr12 778	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
5		mulclsr 6345	. . . . 5 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)
6		0idsr 6358	. . . . 5 |- ((A .R B) e. R. -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
7	5, 6	syl 12	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
8		00sr 6360	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R .R 0R) = 0R
10	9	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = (-1R .R 0R)
11		m1r 6343	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
12		00sr 6360	. . . . . . 7 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (-1R .R 0R) = 0R
14	10, 13	eqtri 1908	. . . . 5 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = 0R
15	14	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = ((A .R B) +R 0R)
16	7, 15	syl5eq 1940	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = (A .R B))
17		00sr 6360	. . . . . 6 |- (B e. R. -> (B .R 0R) = 0R)
18	1	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 0R e. _V
19		mulresr.1	. . . . . . 7 |- B e. _V
20	18, 19	mulcomsr 6350	. . . . . 6 |- (0R .R B) = (B .R 0R)
21	17, 20	syl5eq 1940	. . . . 5 |- (B e. R. -> (0R .R B) = 0R)
22		00sr 6360	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)
23	21, 22	opreqan12rd 4903	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = (0R +R 0R))
24		0idsr 6358	. . . . 5 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	syl6eq 1944	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = 0R)
27	16, 26	opeq12d 3166	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>. = <.(A .R B), 0R>.)
28	4, 27	eqtrd 1925	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046  (class class class)co 4884  R.cnr 6145  0Rc0r 6146  -1Rcm1r 6148   +R cplr 6149   .R cmr 6150   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  axmulrcl 6427  axrrecex 6437  pre-axmulgt0 6443

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-m1r 6325  df-c 6392  df-mul 6398

Copyright terms: Public domain