MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Structured version   Unicode version

Theorem mulre 12712
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 12711 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
213ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
3 recl 12701 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9513 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
543ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
7 recn 9473 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
87anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
983adant1 1006 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
10 mulcan 10074 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
127adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
134adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
14 ax-icn 9442 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
15 imcl 12702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1615recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1814, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2012, 13, 19adddid 9511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
21 replim 12707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2322oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( B  x.  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
24 mul12 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( B  x.  ( Im `  A
) ) )  =  ( B  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
267, 16, 25syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2726oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
2928fveq2d 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  ( B  x.  A )
)  =  ( Re
`  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 9468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
313, 30sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
32 remulcl 9468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
3315, 32sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
34 crre 12705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  /\  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2493 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( B  x.  A ) ) )
3736eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
38 mulcl 9467 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
397, 38sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
40 rereb 12711 . . . . . 6  |-  ( ( B  x.  A )  e.  CC  ->  (
( B  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  A )  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A ) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4237, 41bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
4342ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
44433adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
452, 11, 443bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   _ici 9385    + caddc 9386    x. cmul 9388   Recre 12688   Imcim 12689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692
This theorem is referenced by:  sineq0  22099  sineq0ALT  31973
  Copyright terms: Public domain W3C validator