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Theorem mulre 12956
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 12955 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
213ad2ant1 1015 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
3 recl 12945 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9533 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
543ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 simp1 994 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
7 recn 9493 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
87anim1i 566 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
983adant1 1012 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
10 mulcan 10103 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
127adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
134adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
14 ax-icn 9462 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
15 imcl 12946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1615recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1814, 16, 17sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1918adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2012, 13, 19adddid 9531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
21 replim 12951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2322oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( B  x.  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
24 mul12 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( B  x.  ( Im `  A
) ) )  =  ( B  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
267, 16, 25syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2726oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
2928fveq2d 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  ( B  x.  A )
)  =  ( Re
`  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
313, 30sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
32 remulcl 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
3315, 32sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
34 crre 12949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  /\  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2424 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( B  x.  A ) ) )
3736eqeq1d 2384 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
38 mulcl 9487 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
397, 38sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
40 rereb 12955 . . . . . 6  |-  ( ( B  x.  A )  e.  CC  ->  (
( B  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  A )  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A ) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4237, 41bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
4342ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
44433adant3 1014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
452, 11, 443bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   _ici 9405    + caddc 9406    x. cmul 9408   Recre 12932   Imcim 12933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936
This theorem is referenced by:  sineq0  22999  sineq0ALT  34084
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