Theorem mulpipq 6207

Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem mulpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 3527	. 2 |- <.(A .N C), (B .N D)>. e. _V
2		opex 3527	. 2 |- <.(a .N g), (b .N h)>. e. _V
3		opex 3527	. 2 |- <.(c .N t), (d .N s)>. e. _V
4		enqex 6200	. 2 |- ~Q e. _V
5		enqer 6198	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 6197	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 6189	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 4891	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 4891	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	eqeqan12d 1901	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 567	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 4891	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 4891	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	eqeqan12d 1901	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 567	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-mpq 6188	. 2 |- .pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w .N u), (v .N f)>.))}
17		opeq12 3160	. . . 4 |- (((w .N u) = (a .N g) /\ (v .N f) = (b .N h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
18		opreq12 4891	. . . 4 |- ((w = a /\ u = g) -> (w .N u) = (a .N g))
19		opreq12 4891	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
20	17, 18, 19	syl2an 503	. . 3 |- (((w = a /\ u = g) /\ (v = b /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
21	20	an4s 566	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
22		opeq12 3160	. . . 4 |- (((w .N u) = (c .N t) /\ (v .N f) = (d .N s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
23		opreq12 4891	. . . 4 |- ((w = c /\ u = t) -> (w .N u) = (c .N t))
24		opreq12 4891	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . 3 |- (((w = c /\ u = t) /\ (v = d /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
26	25	an4s 566	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
27		opeq12 3160	. . . 4 |- (((w .N u) = (A .N C) /\ (v .N f) = (B .N D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
28		opreq12 4891	. . . 4 |- ((w = A /\ u = C) -> (w .N u) = (A .N C))
29		opreq12 4891	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
30	27, 28, 29	syl2an 503	. . 3 |- (((w = A /\ u = C) /\ (v = B /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
31	30	an4s 566	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
32		df-mq 6192	. 2 |- .Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. .pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
33		df-nq 6190	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
34		visset 2295	. . 3 |- a e. _V
35		visset 2295	. . 3 |- b e. _V
36		visset 2295	. . 3 |- c e. _V
37		visset 2295	. . 3 |- d e. _V
38		visset 2295	. . 3 |- g e. _V
39		visset 2295	. . 3 |- h e. _V
40		visset 2295	. . 3 |- t e. _V
41		visset 2295	. . 3 |- s e. _V
42	34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	mulcmpblnq 6205	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.(a .N g), (b .N h)>. ~Q <.(c .N t), (d .N s)>.))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 21, 26, 31, 32, 33, 42	oprec 5377	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   .pQ cmpq 6129   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   .Q cmq 6134

This theorem is referenced by:  mulclpq 6212  mulcompq 6216  mulasspq 6217  distrpq 6219  mulidpq 6221  recmulpq 6222  ltmpq 6229  prlem934b 6290

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192

Copyright terms: Public domain