MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpiord Structured version   Unicode version

Theorem mulpiord 9252
Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpiord  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )

Proof of Theorem mulpiord
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5020 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
2 fvres 5862 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )  =  (  .o  `  <. A ,  B >. )
)
3 df-ov 6273 . . . 4  |-  ( A  .N  B )  =  (  .N  `  <. A ,  B >. )
4 df-mi 9241 . . . . 5  |-  .N  =  (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) )
54fveq1i 5849 . . . 4  |-  (  .N 
`  <. A ,  B >. )  =  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )
63, 5eqtri 2483 . . 3  |-  ( A  .N  B )  =  ( (  .o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `
 <. A ,  B >. )
7 df-ov 6273 . . 3  |-  ( A  .o  B )  =  (  .o  `  <. A ,  B >. )
82, 6, 73eqtr4g 2520 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .o  B ) )
91, 8syl 16 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    .o comu 7120   N.cnpi 9211    .N cmi 9213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-res 5000  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-mi 9241
This theorem is referenced by:  mulidpi  9253  mulclpi  9260  mulcompi  9263  mulasspi  9264  distrpi  9265  mulcanpi  9267  ltmpi  9271
  Copyright terms: Public domain W3C validator