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Theorem mulogsumlem 23472
Description: Lemma for mulogsum 23473. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12051 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 mucl 23171 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
65zred 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
76, 3nndivred 10584 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
87recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
91, 8fsumcl 13518 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
11 emre 23091 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
1211recni 9608 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  gamma  e.  CC )
14 mudivsum 23471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O(1) )
16 rpssre 11230 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
17 o1const 13405 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1) )
1816, 12, 17mp2an 672 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1)
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1) )
2010, 13, 15, 19o1mul2 13410 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O(1) )
21 fzfid 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
22 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2423nnrecred 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
2521, 24fsumrecl 13519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
262nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
27 rpdivcl 11242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2928relogcld 22764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
317, 30remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
321, 31fsumrecl 13519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9622 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
3433adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
35 mulcl 9576 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
369, 12, 35sylancl 662 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
3736adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
38 nnrecre 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3938recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
4023, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4121, 40fsumcl 13518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
4229recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
4341, 42subcld 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
448, 43mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
45 mulcl 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )  e.  CC )
468, 12, 45sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
471, 44, 46fsumsub 13566 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  gamma  e.  CC )
4941, 42, 48subsub4d 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )
5049oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )
518, 43, 48subdid 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5250, 51eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) ) )
5352sumeq2dv 13488 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5412a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
551, 54, 8fsummulc1 13563 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) )
5655oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5747, 53, 563eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5857mpteq2ia 4529 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5916a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
6042, 48addcld 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) )  + 
gamma )  e.  CC )
6141, 60subcld 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
)  e.  CC )
628, 61mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  CC )
631, 62fsumcl 13518 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
6463adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
65 1red 9611 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
6663abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
6762abscld 13230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
681, 67fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
69 1red 9611 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
701, 62fsumabs 13578 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
71 rprege0 11234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
72 flge0nn0 11922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
7473nn0red 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
75 rerpdivcl 11247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  x )  /  x
)  e.  RR )
7674, 75mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
77 rpreccl 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7978rpred 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
808abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
813nnrecred 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
8261abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  RR )
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR+ )
84 rpdivcl 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  /  x )  e.  RR+ )
8526, 83, 84syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR+ )
8685rpred 11256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR )
878absge0d 13238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
8861absge0d 13238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )
896recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
903nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
913nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9289, 90, 91absdivd 13249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  ( abs `  n ) ) )
933nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
94 rprege0 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
96 absid 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
9897oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
9992, 98eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10089abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
101 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
102 mule1 23178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1033, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 11310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  /  n )  <_  (
1  /  n ) )
10599, 104eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  (
1  /  n ) )
106 harmonicbnd4 23096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
10728, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
108 rpcnne0 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
110 rpcnne0 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
11193, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
112 recdiv 10250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  n ) )  =  ( n  /  x ) )
113109, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  /  n ) )  =  ( n  /  x
) )
114107, 113breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( n  /  x ) )
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 10488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( (
1  /  n )  x.  ( n  /  x ) ) )
1168, 61absmuld 13248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
117 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
118 dmdcan 10254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  /  x
)  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x ) )
119111, 109, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x
) )
12085rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  CC )
12181recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
122120, 121mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
123119, 122eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
124115, 116, 1233brtr4d 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( 1  /  x
) )
1251, 67, 79, 124fsumle 13576 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
126 hashfz1 12387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
12773, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
128127oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
12977rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
130 fsumconst 13568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
1311, 129, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
13273nn0cnd 10854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
133 rpcn 11228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
134 rpne0 11235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
135132, 133, 134divrecd 10323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x )  x.  (
1  /  x ) ) )
136128, 131, 1353eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
137125, 136breqtrd 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
138 rpre 11226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
139 flle 11904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
141133mulid1d 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
142140, 141breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_ 
( x  x.  1 ) )
143 reflcl 11901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
145 rpregt0 11233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
146 ledivmul 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
147144, 69, 145, 146syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
148142, 147mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1 )
14968, 76, 69, 137, 148letrd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
15066, 68, 69, 70, 149letrd 9738 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
151150ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  1 )
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 13322 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  O(1) )
15358, 152syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )  e.  O(1) )
15434, 37, 153o1dif 13415 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O(1) ) )
15520, 154mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1) )
156155trud 1388 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220   ...cfz 11672   |_cfl 11895   #chash 12373   abscabs 13030   O(1)co1 13272   sum_csu 13471   logclog 22698   gammacem 23077   mmucmu 23124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-o1 13276  df-lo1 13277  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-em 23078  df-mu 23130
This theorem is referenced by:  mulogsum  23473
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