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Theorem mulogsumlem 23914
Description: Lemma for mulogsum 23915. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12065 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 mucl 23613 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
65zred 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
76, 3nndivred 10580 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
87recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
91, 8fsumcl 13637 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
109adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
11 emre 23533 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
1211recni 9597 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  gamma  e.  CC )
14 mudivsum 23913 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O(1) )
16 rpssre 11231 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
17 o1const 13524 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1) )
1816, 12, 17mp2an 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1)
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O(1) )
2010, 13, 15, 19o1mul2 13529 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O(1) )
21 fzfid 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
22 elfznn 11717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
2322adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2423nnrecred 10577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
2521, 24fsumrecl 13638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
262nnrpd 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
27 rpdivcl 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2826, 27sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2928relogcld 23176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
317, 30remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
321, 31fsumrecl 13638 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9611 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
3433adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
35 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
369, 12, 35sylancl 660 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
3736adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
38 nnrecre 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3938recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
4023, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4121, 40fsumcl 13637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
4229recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
4341, 42subcld 9922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
448, 43mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
45 mulcl 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )  e.  CC )
468, 12, 45sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
471, 44, 46fsumsub 13685 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  gamma  e.  CC )
4941, 42, 48subsub4d 9953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )
5049oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )
518, 43, 48subdid 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5250, 51eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) ) )
5352sumeq2dv 13607 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5412a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
551, 54, 8fsummulc1 13682 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) )
5655oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5747, 53, 563eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5857mpteq2ia 4521 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5916a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
6042, 48addcld 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) )  + 
gamma )  e.  CC )
6141, 60subcld 9922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
)  e.  CC )
628, 61mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  CC )
631, 62fsumcl 13637 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
6463adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
65 1red 9600 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
6663abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
6762abscld 13349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
681, 67fsumrecl 13638 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
69 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
701, 62fsumabs 13697 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
71 rprege0 11235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
72 flge0nn0 11936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
7473nn0red 10849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
75 rerpdivcl 11249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  x )  /  x
)  e.  RR )
7674, 75mpancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
77 rpreccl 11245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7877adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7978rpred 11259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
808abscld 13349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
813nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
8261abscld 13349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  RR )
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR+ )
84 rpdivcl 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  /  x )  e.  RR+ )
8526, 83, 84syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR+ )
8685rpred 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR )
878absge0d 13357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
8861absge0d 13357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )
896recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
903nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
913nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9289, 90, 91absdivd 13368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  ( abs `  n ) ) )
933nnrpd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
94 rprege0 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
96 absid 13211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
9897oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
9992, 98eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10089abscld 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
101 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
102 mule1 23620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1033, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  /  n )  <_  (
1  /  n ) )
10599, 104eqbrtrd 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  (
1  /  n ) )
106 harmonicbnd4 23538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
10728, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
108 rpcnne0 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
109108adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
110 rpcnne0 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
11193, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
112 recdiv 10246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  n ) )  =  ( n  /  x ) )
113109, 111, 112syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  /  n ) )  =  ( n  /  x
) )
114107, 113breqtrd 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( n  /  x ) )
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 10483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( (
1  /  n )  x.  ( n  /  x ) ) )
1168, 61absmuld 13367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
117 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
118 dmdcan 10250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  /  x
)  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x ) )
119111, 109, 117, 118syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x
) )
12085rpcnd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  CC )
12181recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
122120, 121mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
123119, 122eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
124115, 116, 1233brtr4d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( 1  /  x
) )
1251, 67, 79, 124fsumle 13695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
126 hashfz1 12401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
12773, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
128127oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
12977rpcnd 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
130 fsumconst 13687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
1311, 129, 130syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
13273nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
133 rpcn 11229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
134 rpne0 11236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
135132, 133, 134divrecd 10319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x )  x.  (
1  /  x ) ) )
136128, 131, 1353eqtr4d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
137125, 136breqtrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
138 rpre 11227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
139 flle 11917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
141133mulid1d 9602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
142140, 141breqtrrd 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_ 
( x  x.  1 ) )
143 reflcl 11914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
145 rpregt0 11234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
146 ledivmul 10414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
147144, 69, 145, 146syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
148142, 147mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1 )
14968, 76, 69, 137, 148letrd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
15066, 68, 69, 70, 149letrd 9728 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
151150ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  1 )
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 13441 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  O(1) )
15358, 152syl5eqelr 2547 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )  e.  O(1) )
15434, 37, 153o1dif 13534 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O(1) ) )
15520, 154mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1) )
156155trud 1407 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221   ...cfz 11675   |_cfl 11908   #chash 12387   abscabs 13149   O(1)co1 13391   sum_csu 13590   logclog 23108   gammacem 23519   mmucmu 23566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-o1 13395  df-lo1 13396  df-sum 13591  df-ef 13885  df-e 13886  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-prm 14302  df-pc 14445  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-em 23520  df-mu 23572
This theorem is referenced by:  mulogsum  23915
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