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Theorem mulogsum 22668
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  ( mmu ( n )  /  n ) log (
x  /  n )  =  O(1). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10991 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 9330 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 13083 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
41, 2, 3mp2an 667 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
5 1cnd 9392 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
6 fzfid 11781 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 elfznn 11467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
87adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
9 mucl 22366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1110zred 10737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1211, 8nndivred 10360 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
137nnrpd 11016 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
1513, 14sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
1615relogcld 21959 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1712, 16remulcld 9404 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
1817recnd 9402 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
196, 18fsumcl 13196 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
2019adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
21 mulogsumlem 22667 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)
22 sumex 13151 . . . . . . . 8  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V )
2421a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1) )
2523, 24o1mptrcl 13086 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
265, 20subcld 9709 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
27 1red 9391 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
28 elfznn 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
2928ssriv 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
3130sselda 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3231, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
3332zred 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
3433, 31nndivred 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  RR )
3534recnd 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
36 fzfid 11781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
37 elfznn 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3938nnrpd 11016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039rpcnne0d 11026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
41 reccl 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 )  -> 
( 1  /  m
)  e.  CC )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4336, 42fsumcl 13196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
44 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
4544, 13, 14syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
4645relogcld 21959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
4746recnd 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
4835, 43, 47subdid 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
4948sumeq2dv 13166 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
50 fzfid 11781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5135, 43mulcld 9396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  e.  CC )
5218adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
5350, 51, 52fsumsub 13240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  -  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
54 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( n  x.  m
) ) )
5554oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
56 rpre 10987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5756adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
58 ssrab2 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
59 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
6058, 59sseldi 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
6160, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
6261zcnd 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
6328adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
6463nnrecred 10357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR )
6564recnd 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  CC )
6665adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
6762, 66mulcld 9396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  e.  CC )
6855, 57, 67dvdsflsumcom 22415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
69 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
1 ) )
70 1div1e1 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
7169, 70syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  1 )
72 flge1nn 11653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
7356, 72sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
74 nnuz 10886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7573, 74syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
76 eluzfz1 11447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7871, 50, 30, 77, 65musumsum 22419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  1 )
7932zcnd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8079adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8131adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
8281nnrpd 11016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
8382rpcnne0d 11026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
84 divdiv1 10032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( mmu `  n
)  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( mmu `  n )  /  n
)  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8580, 83, 40, 84syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8635adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
8738nncnd 10328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
8838nnne0d 10356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
8986, 87, 88divrecd 10100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
90 nnmulcl 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( n  x.  m
)  e.  NN )
9131, 37, 90syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
9291nncnd 10328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  CC )
9391nnne0d 10356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  =/=  0
)
9480, 92, 93divrecd 10100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
9585, 89, 943eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( 1  /  (
n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9695sumeq2dv 13166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9736, 35, 42fsummulc2 13236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9896, 97eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
9998sumeq2dv 13166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
10068, 78, 993eqtr3rd 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  =  1 )
101100oveq1d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
10249, 53, 1013eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
103102adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10425, 26, 27, 103o1eq 13034 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1) ) )
10521, 104mpbii 211 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O(1) )
1065, 20, 105o1dif 13093 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O(1) ) )
1074, 106mpbii 211 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O(1) )
108107trud 1373 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1757    =/= wne 2598   {crab 2711   _Vcvv 2964    C_ wss 3318   class class class wbr 4282    e. cmpt 4340   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    x. cmul 9277    <_ cle 9409    - cmin 9585    / cdiv 9983   NNcn 10312   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   RR+crp 10981   ...cfz 11426   |_cfl 11626   O(1)co1 12950   sum_csu 13149    || cdivides 13520   logclog 21893   mmucmu 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-addf 9351  ax-mulf 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-disj 4253  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-supp 6682  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fsupp 7611  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-ioc 11295  df-ico 11296  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-fl 11628  df-mod 11695  df-seq 11793  df-exp 11852  df-fac 12038  df-bc 12065  df-hash 12090  df-shft 12542  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-limsup 12935  df-clim 12952  df-rlim 12953  df-o1 12954  df-lo1 12955  df-sum 13150  df-ef 13338  df-e 13339  df-sin 13340  df-cos 13341  df-pi 13343  df-dvds 13521  df-gcd 13676  df-prm 13749  df-pc 13889  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-ress 14166  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-hom 14247  df-cco 14248  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-gsum 14366  df-topgen 14367  df-pt 14368  df-prds 14371  df-xrs 14425  df-qtop 14430  df-imas 14431  df-xps 14433  df-mre 14509  df-mrc 14510  df-acs 14512  df-mnd 15400  df-submnd 15450  df-mulg 15530  df-cntz 15817  df-cmn 16261  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lp 18584  df-perf 18585  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-haus 18763  df-tx 18979  df-hmeo 19172  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-xms 19739  df-ms 19740  df-tms 19741  df-cncf 20298  df-limc 21185  df-dv 21186  df-log 21895  df-em 22273  df-mu 22325
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  22672  selberglem1  22681
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