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Theorem mulog2sumlem1 21181
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  log (
x  /  n )  /  n  =  ( 1  /  2 ) log ^ 2 ( x )  +  gamma  x.  log x  -  L  +  O ( log x  /  x ), with explicit constants. Equation 10.2.7 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1  |-  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
mulog2sumlem.1  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
mulog2sumlem1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
mulog2sumlem1.3  |-  ( ph  ->  _e  <_  A )
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) ) )  <_  (
2  x.  ( ( log `  A )  /  A ) ) )
Distinct variable groups:    i, m, y, A    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( y, i)    F( y, i, m)    L( y, i, m)

Proof of Theorem mulog2sumlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 mulog2sumlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
43nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  RR+ )
5 rpdivcl 10590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( A  /  m )  e.  RR+ )
62, 4, 5syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  m )  e.  RR+ )
76relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  m
) )  e.  RR )
83adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
97, 8nndivred 10004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
101, 9fsumrecl 12483 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
112relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
1211resqcld 11504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1312rehalfcld 10170 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
14 emre 20797 . . . . . . . 8  |-  gamma  e.  RR
15 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  ->  ( gamma  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
1614, 11, 15sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( gamma  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
17 rpsup 11202 . . . . . . . . 9  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
19 logdivsum.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
2019logdivsum 21180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  _e  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( ( log `  A
)  /  A ) ) )
2120simp1i 966 . . . . . . . . . . 11  |-  F : RR+
--> RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR+ --> RR )
2322feqmptd 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( F `
 x ) ) )
24 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  L )
2523, 24eqbrtrrd 4194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  L )
2621ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
2726adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2818, 25, 27rlimrecl 12329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2916, 28resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L )  e.  RR )
3013, 29readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) )  e.  RR )
3110, 30resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) )  e.  RR )
3231recnd 9070 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) )  e.  CC )
3332abscld 12193 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) ) )  e.  RR )
34 rerpdivcl 10595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  m  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  A
)  /  m )  e.  RR )
3511, 4, 34syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  A )  /  m )  e.  RR )
3635recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  A )  /  m )  e.  CC )
371, 36fsumcl 12482 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  e.  CC )
3811recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
39 readdcl 9029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  gamma  e.  RR )  ->  (
( log `  A
)  +  gamma )  e.  RR )
4011, 14, 39sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  gamma )  e.  RR )
4140recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  gamma )  e.  CC )
4238, 41mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  e.  CC )
4337, 42subcld 9367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  e.  CC )
4443abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
458nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4645relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4746, 8nndivred 10004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
4847recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
491, 48fsumcl 12482 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  e.  CC )
5013recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
5128recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
5250, 51addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  L
)  e.  CC )
5349, 52subcld 9367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) )  e.  CC )
5453abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) )  e.  RR )
5544, 54readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  +  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )  e.  RR )
56 2re 10025 . . 3  |-  2  e.  RR
5711, 2rerpdivcld 10631 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  /  A )  e.  RR )
58 remulcl 9031 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  A
)  /  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  A
)  /  A ) )  e.  RR )
5956, 57, 58sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  A
)  /  A ) )  e.  RR )
60 relogdiv 20440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  m ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( log `  m ) ) )
612, 4, 60syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  m
) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( log `  m ) ) )
6261oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  A
)  -  ( log `  m ) )  /  m ) )
6338adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6446recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
6545rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
66 divsubdir 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  A )  -  ( log `  m
) )  /  m
)  =  ( ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  m )  /  m
) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( log `  A
)  -  ( log `  m ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  m )  /  m
) ) )
6862, 67eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  m )  /  m
) ) )
6968sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  m )  /  m
) ) )
701, 36, 48fsumsub 12526 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
7169, 70eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
72 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  gamma  e.  RR )  ->  (
( log `  A
)  x.  gamma )  e.  RR )
7311, 14, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  gamma )  e.  RR )
7413, 73readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)  e.  RR )
7574recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)  e.  CC )
7675, 50pncand 9368 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
) )
7714recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  CC
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
gamma  e.  CC )
7938, 38, 78adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  =  ( ( ( log `  A )  x.  ( log `  A ) )  +  ( ( log `  A )  x.  gamma ) ) )
8012recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
81802halvesd 10169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
8238sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
) ^ 2 )  =  ( ( log `  A )  x.  ( log `  A ) ) )
8381, 82eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( log `  A )  x.  ( log `  A ) ) )
8483oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( log `  A )  x.  gamma ) )  =  ( ( ( log `  A )  x.  ( log `  A ) )  +  ( ( log `  A )  x.  gamma ) ) )
8573recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  gamma )  e.  CC )
8650, 50, 85add32d 9244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( log `  A )  x.  gamma ) )  =  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) ) )
8779, 84, 863eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  =  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) ) )
8887oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
)  -  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( log `  A )  x.  gamma ) )  +  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
89 mulcom 9032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
gamma  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  ->  ( gamma  x.  ( log `  A
) )  =  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
)
9077, 38, 89sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( gamma  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A )  x.  gamma ) )
9190oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  (
gamma  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( log `  A
)  x.  gamma )
) )
9276, 88, 913eqtr4rd 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  (
gamma  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
)  -  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) ) )
9392oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( gamma  x.  ( log `  A ) ) )  -  L )  =  ( ( ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) )  -  L ) )
9490, 85eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( gamma  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
9550, 94, 51addsubassd 9387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( gamma  x.  ( log `  A ) ) )  -  L )  =  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) )
9642, 50, 51subsub4d 9398 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A )  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  -  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 ) )  -  L )  =  ( ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
)  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) )
9793, 95, 963eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) )  =  ( ( ( log `  A )  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) )
9871, 97oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) )  -  ( ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  L
) ) ) )
9937, 49, 42, 52sub4d 9416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) )  -  ( ( ( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  L
) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )
10098, 99eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )
101100fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) ) )
10243, 53abs2dif2d 12215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  +  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) ) )
103101, 102eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  +  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) ) )
104 harmonicbnd4 20802 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
1052, 104syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  (
1  /  A ) )
1068nnrecred 10001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
1071, 106fsumrecl 12483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
108107, 40resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  e.  RR )
109108recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  e.  CC )
110109abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  e.  RR )
1112rprecred 10615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
112 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
113112a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
114 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
115114a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
116 0lt1 9506 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
117116a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
118 loge 20434 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  _e )  =  1
119 mulog2sumlem1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  A )
120 epr 12762 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  RR+
121 logleb 20451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  A  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  A ) ) )
122120, 2, 121sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  A  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  A
) ) )
123119, 122mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  A
) )
124118, 123syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  A ) )
125113, 115, 11, 117, 124ltletrd 9186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( log `  A ) )
126 lemul2 9819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  A
) ) )  -> 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  (
1  /  A )  <-> 
( ( log `  A
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( ( log `  A )  x.  ( 1  /  A
) ) ) )
127110, 111, 11, 125, 126syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  (
1  /  A )  <-> 
( ( log `  A
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( ( log `  A )  x.  ( 1  /  A
) ) ) )
128105, 127mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( ( log `  A )  x.  ( 1  /  A
) ) )
12945rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  CC )
13045rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  =/=  0 )
13163, 129, 130divrecd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  A )  /  m )  =  ( ( log `  A
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
132131sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
133106recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
1341, 38, 133fsummulc2 12522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  A )  x.  ( 1  /  m ) ) )
135132, 134eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  =  ( ( log `  A )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) ) )
136135oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  =  ( ( ( log `  A
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )
1371, 133fsumcl 12482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  e.  CC )
13838, 137, 41subdid 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) )  =  ( ( ( log `  A
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( log `  A
)  x.  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )
139136, 138eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) )  =  ( ( log `  A
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )
140139fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  =  ( abs `  (
( log `  A
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) ) )
141137, 41subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) )  e.  CC )
14238, 141absmuld 12211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  A
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  =  ( ( abs `  ( log `  A ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) ) )
143113, 11, 125ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
14411, 143absidd 12180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
145144oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( log `  A ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) ) )
146140, 142, 1453eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  =  ( ( log `  A
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) ) ) )
1472rpcnd 10606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1482rpne0d 10609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
14938, 147, 148divrecd 9749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  /  A )  =  ( ( log `  A )  x.  (
1  /  A ) ) )
150128, 146, 1493brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  <_ 
( ( log `  A
)  /  A ) )
151 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  m  ->  ( log `  i )  =  ( log `  m
) )
152 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
153151, 152oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  m  ->  (
( log `  i
)  /  i )  =  ( ( log `  m )  /  m
) )
154153cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )
155 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  A
) )
156155oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
157156sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) )
158154, 157syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m ) )
159 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  ( log `  y )  =  ( log `  A
) )
160159oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( log `  y
) ^ 2 )  =  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
161160oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( log `  y
) ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) )
162158, 161oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
163 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) )  e.  _V
164162, 19, 163fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( F `
 A )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1652, 164syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  /  2 ) ) )
166165oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  -  L
)  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) )  -  L ) )
16749, 50, 51subsub4d 9398 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 ) )  -  L )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) )
168166, 167eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  -  L
)  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  L
) ) )
169168fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )
17020simp3i 968 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  _e  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( ( log `  A
)  /  A ) )
17124, 2, 119, 170syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( ( log `  A )  /  A ) )
172169, 171eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) )  <_  ( ( log `  A )  /  A
) )
17344, 54, 57, 57, 150, 172le2addd 9600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  +  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )  <_  ( (
( log `  A
)  /  A )  +  ( ( log `  A )  /  A
) ) )
17457recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  /  A )  e.  CC )
1751742timesd 10166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  A
)  /  A ) )  =  ( ( ( log `  A
)  /  A )  +  ( ( log `  A )  /  A
) ) )
176173, 175breqtrrd 4198 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  A
)  /  m )  -  ( ( log `  A )  x.  (
( log `  A
)  +  gamma )
) ) )  +  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  /  2 )  +  L ) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( log `  A )  /  A
) ) )
17733, 55, 59, 103, 176letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  ( A  /  m ) )  /  m )  -  ( ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( gamma  x.  ( log `  A ) )  -  L ) ) ) )  <_  (
2  x.  ( ( log `  A )  /  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   sum_csu 12434   _eceu 12620   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem2  21182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784
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