MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sum Structured version   Unicode version

Theorem mulog2sum 22808
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  ( mmu ( n )  /  n ) log ^
2 ( x  /  n )  =  2 log x  +  O(1). Equation 10.2.8 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulog2sum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mulog2sum
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )
21logdivsum 22804 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) ) : RR+ --> RR 
/\  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  1  /\  1  e.  RR+  /\  _e  <_  1 )  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) `
 1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( log `  1
)  /  1 ) ) )
32simp2i 998 . 2  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r
4 eldmg 5056 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z ) )
54ibi 241 . 2  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z )
6 id 22 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z )
71, 6mulog2sumlem3 22807 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
87exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
93, 5, 8mp2b 10 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965   E.wex 1586    e. wcel 1756   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304    x. cmul 9308    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   2c2 10392   RR+crp 11012   ...cfz 11458   |_cfl 11661   ^cexp 11886   abscabs 12744    ~~> r crli 12984   O(1)co1 12985   sum_csu 13184   _eceu 13369   logclog 22028   mmucmu 22454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-o1 12989  df-lo1 12990  df-sum 13185  df-ef 13374  df-e 13375  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785  df-pc 13925  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-cxp 22031  df-em 22408  df-mu 22460
This theorem is referenced by:  selberglem1  22816
  Copyright terms: Public domain W3C validator