Theorem mulnzcnopr 6891

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnopr	|- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0})

Proof of Theorem mulnzcnopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnoprv 4943	. 2 |- (( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0}) <-> (( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) /\ A.x e. (CC \ {0})A.y e. (CC \ {0})(x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0})))
2		axmulopr 6418	. . . . 5 |- x. :(CC X. CC)-->CC
3		ffnoprv 4943	. . . . 5 |- ( x. :(CC X. CC)-->CC <-> ( x. Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x x. y) e. CC))
4	2, 3	mpbi 206	. . . 4 |- ( x. Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x x. y) e. CC)
5	4	simpli 347	. . 3 |- x. Fn (CC X. CC)
6		difss 2735	. . . 4 |- (CC \ {0}) C_ CC
7		xpss12 4089	. . . 4 |- (((CC \ {0}) C_ CC /\ (CC \ {0}) C_ CC) -> ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) C_ (CC X. CC))
8	6, 6, 7	mp2an 761	. . 3 |- ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) C_ (CC X. CC)
9		fnssres 4526	. . 3 |- (( x. Fn (CC X. CC) /\ ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) C_ (CC X. CC)) -> ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))
10	5, 8, 9	mp2an 761	. 2 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))
11		oprvres 4963	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) = (x x. y))
12		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x x. y) e. CC)
13	12	ad2ant2r 445	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) e. CC)
14		mulne0 6887	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) =/= 0)
15	13, 14	jca 310	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
16		eldifsn 3123	. . . . . 6 |- (x e. (CC \ {0}) <-> (x e. CC /\ x =/= 0))
17		eldifsn 3123	. . . . . 6 |- (y e. (CC \ {0}) <-> (y e. CC /\ y =/= 0))
18	15, 16, 17	syl2anb 504	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
19		eldifsn 3123	. . . . 5 |- ((x x. y) e. (CC \ {0}) <-> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
20	18, 19	sylibr 217	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x x. y) e. (CC \ {0}))
21	11, 20	eqeltrd 1971	. . 3 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}))
22	21	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. (CC \ {0})A.y e. (CC \ {0})(x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0})
23	1, 10, 22	mpbir2an 800	1 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0})

Syntax hints:   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   \ cdif 2590   C_ wss 2593  {csn 3044   X. cxp 3984   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  ablmul 9439  mulid 9440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain