MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnqf Unicode version

Theorem mulnqf 8782
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulnqf  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.

Proof of Theorem mulnqf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqerf 8763 . . . 4  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 mulpqf 8779 . . . 4  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3 fco 5559 . . . 4  |-  ( ( /Q : ( N. 
X.  N. ) --> Q.  /\  .pQ 
: ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q. )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.
5 elpqn 8758 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
65ssriv 3312 . . . 4  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
7 xpss12 4940 . . . 4  |-  ( ( Q.  C_  ( N.  X.  N. )  /\  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( Q.  X.  Q. )  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
86, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
9 fssres 5569 . . 3  |-  ( ( ( /Q  o.  .pQ  ) : ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.  /\  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. )
--> Q. )
104, 8, 9mp2an 654 . 2  |-  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.
11 df-mq 8748 . . 3  |-  .Q  =  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) )
1211feq1i 5544 . 2  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  <->  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q. )
1310, 12mpbir 201 1  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    C_ wss 3280    X. cxp 4835    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   N.cnpi 8675    .pQ cmpq 8680   Q.cnq 8683   /Qcerq 8685    .Q cmq 8687
This theorem is referenced by:  mulcomnq  8786  mulerpq  8790  mulassnq  8792  distrnq  8794  recmulnq  8797  recclnq  8799  dmrecnq  8801  ltmnq  8805  prlem936  8880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-mpq 8742  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-mq 8748  df-1nq 8749
  Copyright terms: Public domain W3C validator