MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnqf Structured version   Unicode version

Theorem mulnqf 9224
Description: Domain of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulnqf  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.

Proof of Theorem mulnqf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqerf 9205 . . . 4  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 mulpqf 9221 . . . 4  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3 fco 5671 . . . 4  |-  ( ( /Q : ( N. 
X.  N. ) --> Q.  /\  .pQ 
: ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q. )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( /Q  o.  .pQ  ) :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.
5 elpqn 9200 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
65ssriv 3463 . . . 4  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
7 xpss12 5048 . . . 4  |-  ( ( Q.  C_  ( N.  X.  N. )  /\  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( Q.  X.  Q. )  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
86, 6, 7mp2an 672 . . 3  |-  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
9 fssres 5681 . . 3  |-  ( ( ( /Q  o.  .pQ  ) : ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> Q.  /\  ( Q. 
X.  Q. )  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. )
--> Q. )
104, 8, 9mp2an 672 . 2  |-  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.
11 df-mq 9190 . . 3  |-  .Q  =  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q. 
X.  Q. ) )
1211feq1i 5654 . 2  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  <->  ( ( /Q  o.  .pQ  )  |`  ( Q.  X.  Q. ) ) : ( Q.  X.  Q. ) --> Q. )
1310, 12mpbir 209 1  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    C_ wss 3431    X. cxp 4941    |` cres 4945    o. ccom 4947   -->wf 5517   N.cnpi 9117    .pQ cmpq 9122   Q.cnq 9125   /Qcerq 9127    .Q cmq 9129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-ni 9147  df-mi 9149  df-lti 9150  df-mpq 9184  df-enq 9186  df-nq 9187  df-erq 9188  df-mq 9190  df-1nq 9191
This theorem is referenced by:  mulcomnq  9228  mulerpq  9232  mulassnq  9234  distrnq  9236  recmulnq  9239  recclnq  9241  dmrecnq  9243  ltmnq  9247  prlem936  9322
  Copyright terms: Public domain W3C validator