Theorem mulneg2d 10072

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	|- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		mulneg2 10056	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 667	1 |- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1444   e. wcel 1887  (class class class)co 6290   CCcc 9537   x. cmul 9544   -ucneg 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863

This theorem is referenced by:  prodge0  10452  expmulz  12318  discr  12409  sincossq  14230  oexpneg  14368  mulgass  16788  zringlpirlem3OLD  19055  zringlpirlem3  19057  pjthlem1  22391  dvfsum2  22986  vieta1  23265  advlogexp  23600  logccv  23608  cxpmul2z  23636  abscxpbnd  23693  isosctrlem3  23749  dcubic1lem  23769  mcubic  23773  amgmlem  23915  ftalem5  24001  ftalem5OLD  24003  pntrlog2bndlem2  24416  brbtwn2  24935  colinearalglem4  24939  gxmodid  26007  pjhthlem1  27044  fwddifnp1  30932  areacirclem1  32032  pellexlem6  35678  pell1234qrreccl  35700  pell14qrdich  35715  rmxyneg  35768  rmxm1  35782  cosknegpi  37744  itgsinexplem1  37830  dirkerper  37958  sqwvfoura  38092  etransclem46  38145  oexpnegALTV  38806  oexpnegnz  38807  2zrngagrp  39996