Theorem mulneg2d 10006

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	|- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		mulneg2 9990	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   x. cmul 9493   -ucneg 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804

This theorem is referenced by:  prodge0  10385  expmulz  12174  discr  12265  sincossq  13765  oexpneg  13901  mulgass  15969  zringlpirlem3  18275  zlpirlem3  18280  pjthlem1  21584  dvfsum2  22167  vieta1  22439  advlogexp  22761  logccv  22769  cxpmul2z  22797  abscxpbnd  22852  isosctrlem3  22879  dcubic1lem  22899  mcubic  22903  amgmlem  23044  ftalem5  23075  pntrlog2bndlem2  23488  brbtwn2  23881  colinearalglem4  23885  gxmodid  24954  pjhthlem1  25982  areacirclem1  29682  pellexlem6  30372  pell1234qrreccl  30392  pell14qrdich  30407  rmxyneg  30458  rmxm1  30472  cosknegpi  31205  itgsinexplem1  31271  dirkerper  31396  sqwvfoura  31529