Theorem mulneg2d 9971

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulneg2d	|- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		mulneg2 9955	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 659	1 |- ( ph -> ( A x. -u B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842  (class class class)co 6234   CCcc 9440   x. cmul 9447   -ucneg 9762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763  df-neg 9764

This theorem is referenced by:  prodge0  10350  expmulz  12166  discr  12257  sincossq  14012  oexpneg  14150  mulgass  16388  zringlpirlem3  18716  pjthlem1  22036  dvfsum2  22619  vieta1  22892  advlogexp  23222  logccv  23230  cxpmul2z  23258  abscxpbnd  23315  isosctrlem3  23371  dcubic1lem  23391  mcubic  23395  amgmlem  23537  ftalem5  23623  pntrlog2bndlem2  24036  brbtwn2  24506  colinearalglem4  24510  gxmodid  25575  pjhthlem1  26603  fwddifnp1  30491  areacirclem1  31459  pellexlem6  35112  pell1234qrreccl  35132  pell14qrdich  35147  rmxyneg  35198  rmxm1  35212  cosknegpi  37019  itgsinexplem1  37102  dirkerper  37228  sqwvfoura  37361  etransclem46  37413  oexpnegALTV  37739  oexpnegnz  37740  2zrngagrp  38240