MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2 Structured version   Unicode version

Theorem mulneg2 9778
Description: The product with a negative is the negative of the product. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
mulneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)

Proof of Theorem mulneg2
StepHypRef Expression
1 mulneg1 9777 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
21ancoms 450 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  A )  =  -u ( B  x.  A
) )
3 negcl 9606 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
4 mulcom 9364 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B )  =  (
-u B  x.  A
) )
53, 4sylan2 471 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  ( -u B  x.  A )
)
6 mulcom 9364 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
76negeqd 9600 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  x.  B )  =  -u ( B  x.  A
) )
82, 5, 73eqtr4d 2483 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    x. cmul 9283   -ucneg 9592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594
This theorem is referenced by:  mulneg12  9779  submul2  9781  mulsub  9783  mulneg2i  9787  mulneg2d  9794  mulle0b  10196  zmulcl  10689  binom2sub  11979  cjreb  12608  recj  12609  reneg  12610  imcj  12617  imneg  12618  ipcnval  12628  cjneg  12632  cnpart  12725  efexp  13381  efmival  13433  tanhbnd  13441  sinsub  13448  cossub  13449  odd2np1  13588  itgneg  21240  dvsincos  21412  sinperlem  21901  efimpi  21912  dcubic2  22198  dcubic  22200  dquart  22207  quartlem1  22211  asinlem2  22223  asinneg  22240  sinasin  22243  cosasin  22258  atanneg  22261  atanlogadd  22268  atanlogsub  22270  cosatan  22275  atantan  22277  atans2  22285  rpvmasum2  22720  ipasslem2  24167  dvasin  28405  pell1234qrdich  29127  rmxm1  29200
  Copyright terms: Public domain W3C validator