MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Unicode version

Theorem mulneg1d 10005
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mulneg1d  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 mulneg1 9989 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486    x. cmul 9493   -ucneg 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by:  divsubdiv  10256  recgt0  10382  xmulneg1  11457  expmulz  12174  discr1  12264  iseraltlem3  13462  incexclem  13604  incexc  13605  mulgass  15969  mbfmulc2lem  21786  mbfmulc2  21802  itg2monolem1  21889  itgmulc2  21972  dvexp3  22111  dvfsumlem2  22160  aaliou3lem2  22470  advlogexp  22761  logtayl2  22768  dcubic2  22900  dcubic  22902  ftalem5  23075  lgsdilem  23322  2sqlem4  23367  pntrsumo1  23475  pntrlog2bndlem4  23490  brbtwn2  23881  colinearalglem4  23885  axeuclidlem  23938  itgmulc2nc  29658  pellexlem6  30372  jm2.19lem1  30535  jm2.19lem4  30538  jm2.19  30539  mulltgt0  30975  fperiodmul  31081  cosknegpi  31205  dvrecg  31240  dvmptdiv  31247  itgsinexplem1  31271  stoweidlem13  31313  stoweidlem42  31342  fourierdlem39  31446  fourierdlem41  31448  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem64  31471  sineq0ALT  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator