MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Unicode version

Theorem mulneg1d 10030
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mulneg1d  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 mulneg1 10014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507    x. cmul 9514   -ucneg 9825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by:  divsubdiv  10281  recgt0  10407  xmulneg1  11486  expmulz  12215  discr1  12305  iseraltlem3  13518  incexclem  13660  incexc  13661  mulgass  16299  mbfmulc2lem  22180  mbfmulc2  22196  itg2monolem1  22283  itgmulc2  22366  dvexp3  22505  dvfsumlem2  22554  aaliou3lem2  22865  advlogexp  23162  logtayl2  23169  dcubic2  23301  dcubic  23303  ftalem5  23476  lgsdilem  23723  2sqlem4  23768  pntrsumo1  23876  pntrlog2bndlem4  23891  brbtwn2  24335  colinearalglem4  24339  axeuclidlem  24392  itgmulc2nc  30288  pellexlem6  30974  jm2.19lem1  31135  jm2.19lem4  31138  jm2.19  31139  binomcxplemnotnn0  31465  mulltgt0  31600  fperiodmul  31707  cosknegpi  31872  dvrecg  31910  dvmptdiv  31917  itgsinexplem1  31955  stoweidlem13  31998  stoweidlem42  32027  fourierdlem39  32131  fourierdlem41  32133  fourierdlem48  32140  fourierdlem49  32141  fourierdlem64  32156  etransclem46  32266  sineq0ALT  33880
  Copyright terms: Public domain W3C validator