MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Unicode version

Theorem mulne0d 9630
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mul0ord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
mulne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulne0d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 mulne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
3 msq0d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul0ord.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
53, 4mulne0bd 9629 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( A  x.  B )  =/=  0
) )
61, 2, 5mpbi2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951
This theorem is referenced by:  divdivdiv  9671  absrpcl  12048  tanval3  12690  tanaddlem  12722  tanadd  12723  pcqmul  13182  abvdom  15881  itg1mulc  19549  dgrmul  20141  aalioulem4  20205  taylthlem2  20243  tanarg  20467  mulcxp  20529  cxpmul2  20533  angcan  20597  ssscongptld  20619  chordthmlem2  20627  quad2  20632  dcubic2  20637  dcubic  20639  mcubic  20640  cubic2  20641  cubic  20642  lgsdilem2  21068  lgsdi  21069  pntrlog2bndlem2  21225  padicabv  21277  qqhghm  24325  qqhrhm  24326  lgamgulmlem2  24767  prodfn0  25175  ntrivcvgmullem  25182  itg2addnclem  26155  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  clim1fr1  27594  stoweidlem1  27617  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  wallispi2  27689  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem10  27699  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  sigardiv  27718  cevathlem1  27724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator