Theorem mulmarep1gsum2 19161

Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	|- A = ( N Mat R )
marepvcl.b	|- B = ( Base ` A )
marepvcl.v	|- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
ma1repvcl.1	|- .1. = ( 1r ` A )
mulmarep1el.0	|- .0. = ( 0g ` R )
mulmarep1el.e	|- E = ( ( .1. ( N matRepV R ) C ) ` K )
mulmarep1gsum2.x	|- .X. = ( R maVecMul <. N , N >. )

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1gsum2	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )

Distinct variable groups:   B, l   C, l   I, l   J, l   K, l   N, l   R, l   V, l   X, l   .0. , l   A, l   Z, l   .X. , l

Allowed substitution hints:   .1. ( l)   E( l)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> R e. Ring )
3		simpl2 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) )
4		simp1 994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) -> I e. N )
5	4	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> I e. N )
6	5	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> I e. N )
7		simpl32 1076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> J e. N )
8		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> l e. N )
9	6, 7, 8	3jca 1174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> ( I e. N /\ J e. N /\ l e. N ) )
10	2, 3, 9	3jca 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ l e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ l e. N ) ) )
11	10	adantll 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) /\ l e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ l e. N ) ) )
12		marepvcl.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
13		marepvcl.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
14		marepvcl.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
15		ma1repvcl.1	. . . . . . . . 9 |- .1. = ( 1r ` A )
16		mulmarep1el.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
17		mulmarep1el.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( ( .1. ( N matRepV R ) C ) ` K )
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1el 19159	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ l e. N ) ) -> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) = if ( J = K , ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) , if ( J = l , ( I X l ) , .0. ) ) )
19	11, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) /\ l e. N ) -> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) = if ( J = K , ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) , if ( J = l , ( I X l ) , .0. ) ) )
20		iftrue 3863	. . . . . . . . 9 |- ( J = K -> if ( J = K , ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) , if ( J = l , ( I X l ) , .0. ) ) = ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) )
21	20	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> if ( J = K , ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) , if ( J = l , ( I X l ) , .0. ) ) = ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) )
22	21	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) /\ l e. N ) -> if ( J = K , ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) , if ( J = l , ( I X l ) , .0. ) ) = ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) )
23	19, 22	eqtrd 2423	. . . . . 6 |- ( ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) /\ l e. N ) -> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) = ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) )
24	23	mpteq2dva 4453	. . . . 5 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) = ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) ) )
25	24	oveq2d 6212	. . . 4 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) ) ) )
26		fveq1 5773	. . . . . . . . 9 |- ( ( X .X. C ) = Z -> ( ( X .X. C ) ` I ) = ( Z ` I ) )
27	26	eqcomd 2390	. . . . . . . 8 |- ( ( X .X. C ) = Z -> ( Z ` I ) = ( ( X .X. C ) ` I ) )
28	27	3ad2ant3 1017	. . . . . . 7 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) -> ( Z ` I ) = ( ( X .X. C ) ` I ) )
29	28	3ad2ant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> ( Z ` I ) = ( ( X .X. C ) ` I ) )
30	29	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( Z ` I ) = ( ( X .X. C ) ` I ) )
31		mulmarep1gsum2.x	. . . . . 6 |- .X. = ( R maVecMul <. N , N >. )
32		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
33		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
34	1	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> R e. Ring )
35	12, 13	matrcl 18999	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
36	35	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> N e. Fin )
37	36	3ad2ant1 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) -> N e. Fin )
38	37	3ad2ant2 1016	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> N e. Fin )
39	38	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> N e. Fin )
40	13	eleq2i 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. B <-> X e. ( Base ` A ) )
41	40	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> X e. ( Base ` A ) )
42	41	3ad2ant1 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
43	42	3ad2ant2 1016	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
44	43	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
45	14	eleq2i 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V <-> C e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
46	45	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( C e. V -> C e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
47	46	3ad2ant2 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) -> C e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
48	47	3ad2ant2 1016	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> C e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
49	48	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> C e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
50	5	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> I e. N )
51	12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50	mavmulfv 19133	. . . . 5 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( ( X .X. C ) ` I ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) ) ) )
52	30, 51	eqtrd 2423	. . . 4 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( Z ` I ) = ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( C ` l ) ) ) ) )
53		iftrue 3863	. . . . . 6 |- ( J = K -> if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) = ( Z ` I ) )
54	53	eqcomd 2390	. . . . 5 |- ( J = K -> ( Z ` I ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
55	54	adantr 463	. . . 4 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( Z ` I ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
56	25, 52, 55	3eqtr2d 2429	. . 3 |- ( ( J = K /\ ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
57	56	ex 432	. 2 |- ( J = K -> ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) ) )
58	1	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> R e. Ring )
59		simpl2 998	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) )
60	5	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> I e. N )
61		simpl32 1076	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> J e. N )
62		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> J =/= K )
63	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1gsum1 19160	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ J =/= K ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = ( I X J ) )
64	58, 59, 60, 61, 62, 63	syl113anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = ( I X J ) )
65		df-ne 2579	. . . . . 6 |- ( J =/= K <-> -. J = K )
66		iffalse 3866	. . . . . . 7 |- ( -. J = K -> if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) = ( I X J ) )
67	66	eqcomd 2390	. . . . . 6 |- ( -. J = K -> ( I X J ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
68	65, 67	sylbi 195	. . . . 5 |- ( J =/= K -> ( I X J ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
69	68	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> ( I X J ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
70	64, 69	eqtrd 2423	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) /\ J =/= K ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )
71	70	expcom 433	. 2 |- ( J =/= K -> ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) ) )
72	57, 71	pm2.61ine 2695	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ ( X .X. C ) = Z ) ) -> ( R gsumg ( l e. N |-> ( ( I X l ) ( .r ` R ) ( l E J ) ) ) ) = if ( J = K , ( Z ` I ) , ( I X J ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   _Vcvv 3034   ifcif 3857   <.cop 3950   |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ^m cmap 7338   Fincfn 7435   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   0gc0g 14847   gsum_g cgsu 14848   1rcur 17266   Ringcrg 17311   Mat cmat 18994   maVecMul cmvmul 19127   matRepV cmatrepV 19144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971  df-mat 18995  df-mvmul 19128  df-marepv 19146

This theorem is referenced by:  cramerimplem2  19271