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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulmarep1gsum2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.) |
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marepvcl.a |
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marepvcl.b |
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marepvcl.v |
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ma1repvcl.1 |
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mulmarep1el.0 |
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mulmarep1el.e |
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mulmarep1gsum2.x |
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mulmarep1gsum2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 1014 |
. . . . . . . . . . 11
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2 | 1 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
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3 | simpl2 1018 |
. . . . . . . . . 10
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4 | simp1 1014 |
. . . . . . . . . . . . 13
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5 | 4 | 3ad2ant3 1037 |
. . . . . . . . . . . 12
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6 | 5 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | simpl32 1096 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | simpr 467 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 6, 7, 8 | 3jca 1194 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 2, 3, 9 | 3jca 1194 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | adantll 725 |
. . . . . . . 8
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12 | marepvcl.a |
. . . . . . . . 9
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13 | marepvcl.b |
. . . . . . . . 9
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14 | marepvcl.v |
. . . . . . . . 9
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15 | ma1repvcl.1 |
. . . . . . . . 9
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16 | mulmarep1el.0 |
. . . . . . . . 9
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17 | mulmarep1el.e |
. . . . . . . . 9
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18 | 12, 13, 14, 15, 16, 17 | mulmarep1el 19646 |
. . . . . . . 8
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19 | 11, 18 | syl 17 |
. . . . . . 7
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20 | iftrue 3899 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | adantr 471 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantr 471 |
. . . . . . 7
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23 | 19, 22 | eqtrd 2496 |
. . . . . 6
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24 | 23 | mpteq2dva 4503 |
. . . . 5
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25 | 24 | oveq2d 6331 |
. . . 4
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26 | fveq1 5887 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | eqcomd 2468 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | 3ad2ant3 1037 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | 3ad2ant3 1037 |
. . . . . 6
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30 | 29 | adantl 472 |
. . . . 5
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31 | mulmarep1gsum2.x |
. . . . . 6
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32 | eqid 2462 |
. . . . . 6
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33 | eqid 2462 |
. . . . . 6
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34 | 1 | adantl 472 |
. . . . . 6
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35 | 12, 13 | matrcl 19486 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | simpld 465 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | 3ad2ant2 1036 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | adantl 472 |
. . . . . 6
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40 | 13 | eleq2i 2532 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | biimpi 199 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | 3ad2ant2 1036 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | adantl 472 |
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45 | 14 | eleq2i 2532 |
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46 | 45 | biimpi 199 |
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47 | 46 | 3ad2ant2 1036 |
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48 | 47 | 3ad2ant2 1036 |
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49 | 48 | adantl 472 |
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50 | 5 | adantl 472 |
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51 | 12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50 | mavmulfv 19620 |
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52 | 30, 51 | eqtrd 2496 |
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53 | iftrue 3899 |
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54 | 53 | eqcomd 2468 |
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55 | 54 | adantr 471 |
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56 | 25, 52, 55 | 3eqtr2d 2502 |
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57 | 56 | ex 440 |
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58 | 1 | adantr 471 |
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59 | simpl2 1018 |
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60 | 5 | adantr 471 |
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61 | simpl32 1096 |
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62 | simpr 467 |
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63 | 12, 13, 14, 15, 16, 17 | mulmarep1gsum1 19647 |
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64 | 58, 59, 60, 61, 62, 63 | syl113anc 1288 |
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65 | df-ne 2635 |
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66 | iffalse 3902 |
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67 | 66 | eqcomd 2468 |
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68 | 65, 67 | sylbi 200 |
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70 | 64, 69 | eqtrd 2496 |
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72 | 57, 71 | pm2.61ine 2719 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4529 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-inf2 8172 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-fal 1461 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-ot 3989 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-iin 4295 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-se 4813 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-isom 5610 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-of 6558 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-supp 6942 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-1o 7208 df-oadd 7212 df-er 7389 df-map 7500 df-ixp 7549 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-fin 7599 df-fsupp 7910 df-sup 7982 df-oi 8051 df-card 8399 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-nn 10638 df-2 10696 df-3 10697 df-4 10698 df-5 10699 df-6 10700 df-7 10701 df-8 10702 df-9 10703 df-10 10704 df-n0 10899 df-z 10967 df-dec 11081 df-uz 11189 df-fz 11814 df-fzo 11947 df-seq 12246 df-hash 12548 df-struct 15172 df-ndx 15173 df-slot 15174 df-base 15175 df-sets 15176 df-ress 15177 df-plusg 15252 df-mulr 15253 df-sca 15255 df-vsca 15256 df-ip 15257 df-tset 15258 df-ple 15259 df-ds 15261 df-hom 15263 df-cco 15264 df-0g 15389 df-gsum 15390 df-prds 15395 df-pws 15397 df-mre 15541 df-mrc 15542 df-acs 15544 df-mgm 16537 df-sgrp 16576 df-mnd 16586 df-mhm 16631 df-submnd 16632 df-grp 16722 df-minusg 16723 df-sbg 16724 df-mulg 16725 df-subg 16863 df-ghm 16930 df-cntz 17020 df-cmn 17481 df-abl 17482 df-mgp 17773 df-ur 17785 df-ring 17831 df-subrg 18055 df-lmod 18142 df-lss 18205 df-sra 18444 df-rgmod 18445 df-dsmm 19344 df-frlm 19359 df-mamu 19458 df-mat 19482 df-mvmul 19615 df-marepv 19633 |
This theorem is referenced by: cramerimplem2 19758 |
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