MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1el Structured version   Unicode version

Theorem mulmarep1el 19528
Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marepvcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marepvcl.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
ma1repvcl.1  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
mulmarep1el.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mulmarep1el.e  |-  E  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) C ) `
 K )
Assertion
Ref Expression
mulmarep1el  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `
 L ) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )

Proof of Theorem mulmarep1el
StepHypRef Expression
1 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  L  e.  N )
2 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  J  e.  N )
31, 2jca 534 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( L  e.  N  /\  J  e.  N
) )
4 marepvcl.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
5 marepvcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
6 marepvcl.v . . . . 5  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
7 ma1repvcl.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
8 mulmarep1el.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mulmarep1el.e . . . . 5  |-  E  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) C ) `
 K )
104, 5, 6, 7, 8, 9ma1repveval 19527 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( L  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( L E J )  =  if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) )
113, 10syl3an3 1299 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  ( L E J )  =  if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) )
1211oveq2d 6321 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) ) )
13 ovif2 6388 . . 3  |-  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  K ,  ( C `  L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )  =  if ( J  =  K , 
( ( I X L ) ( .r
`  R ) ( C `  L ) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  K , 
( C `  L
) ,  if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) ) )
15 ovif2 6388 . . . 4  |-  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) )  =  if ( J  =  L ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R )  .0.  ) )
16 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
17 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  I  e.  N )
18173ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  I  e.  N )
1913ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  L  e.  N )
205eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  A )
)
2120biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
22213ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
23223ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
24 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
254, 24matecl 19381 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  N  /\  L  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( I X L )  e.  ( Base `  R ) )
2618, 19, 23, 25syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )
27 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
28 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2924, 27, 28ringridm 17740 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( I X L ) )
3016, 26, 29syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( I X L ) )
3124, 27, 8ringrz 17753 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
3216, 26, 31syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
3330, 32ifeq12d 3935 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  if ( J  =  L ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )
)  =  if ( J  =  L , 
( I X L ) ,  .0.  )
)
3415, 33syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
)  =  if ( J  =  L , 
( I X L ) ,  .0.  )
)
3534ifeq2d 3934 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )
3612, 14, 353eqtrd 2474 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `
 L ) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   1rcur 17670   Ringcrg 17715   Mat cmat 19363   matRepV cmatrepV 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-marepv 19515
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  19529  mulmarep1gsum2  19530
  Copyright terms: Public domain W3C validator