MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1el Structured version   Unicode version

Theorem mulmarep1el 18869
Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marepvcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marepvcl.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
ma1repvcl.1  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
mulmarep1el.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mulmarep1el.e  |-  E  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) C ) `
 K )
Assertion
Ref Expression
mulmarep1el  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `
 L ) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )

Proof of Theorem mulmarep1el
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  L  e.  N )
2 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  J  e.  N )
31, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( L  e.  N  /\  J  e.  N
) )
4 marepvcl.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
5 marepvcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
6 marepvcl.v . . . . 5  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
7 ma1repvcl.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
8 mulmarep1el.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mulmarep1el.e . . . . 5  |-  E  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) C ) `
 K )
104, 5, 6, 7, 8, 9ma1repveval 18868 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( L  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( L E J )  =  if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) )
113, 10syl3an3 1263 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  ( L E J )  =  if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) )
1211oveq2d 6300 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  K ,  ( C `
 L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) ) ) )
13 ovif2 6364 . . 3  |-  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  K ,  ( C `  L ) ,  if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )  =  if ( J  =  K , 
( ( I X L ) ( .r
`  R ) ( C `  L ) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  K , 
( C `  L
) ,  if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) ) )
15 ovif2 6364 . . . 4  |-  ( ( I X L ) ( .r `  R
) if ( J  =  L ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) )  =  if ( J  =  L ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R )  .0.  ) )
16 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
17 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  I  e.  N )
18173ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  I  e.  N )
1913ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  L  e.  N )
205eleq2i 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  A )
)
2120biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
22213ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
23223ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
24 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
254, 24matecl 18722 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  N  /\  L  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( I X L )  e.  ( Base `  R ) )
2618, 19, 23, 25syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
28 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2924, 27, 28rngridm 17024 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( I X L ) )
3016, 26, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( I X L ) )
3124, 27, 8rngrz 17037 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I X L )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
3216, 26, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
3330, 32ifeq12d 3959 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  if ( J  =  L ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R )  .0.  )
)  =  if ( J  =  L , 
( I X L ) ,  .0.  )
)
3415, 33syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
)  =  if ( J  =  L , 
( I X L ) ,  .0.  )
)
3534ifeq2d 3958 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) if ( J  =  L , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `  L
) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )
3612, 14, 353eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  L  e.  N
) )  ->  (
( I X L ) ( .r `  R ) ( L E J ) )  =  if ( J  =  K ,  ( ( I X L ) ( .r `  R ) ( C `
 L ) ) ,  if ( J  =  L ,  ( I X L ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   1rcur 16955   Ringcrg 17000   Mat cmat 18704   matRepV cmatrepV 18854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-mamu 18681  df-mat 18705  df-marepv 18856
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  18870  mulmarep1gsum2  18871
  Copyright terms: Public domain W3C validator