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Theorem mullimcf 37586
Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
mullimcf.g  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
mullimcf.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )
mullimcf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( F lim
CC  D ) )
mullimcf.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
mullimcf  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables  a 
b  e  f  y  z  w  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22772 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 mullimcf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3405 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 limccl 22772 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 mullimcf.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3405 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
73, 6mulcld 9614 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
93adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
106adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
11 mulcn2 13602 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
14 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
16 limcrcl 22771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1817simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
1915, 18eqsstr3d 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
2017simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2113, 19, 20ellimc3 22776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( B  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) ) )
222, 21mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
2322simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )
2423r19.21bi 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a ) )
2524adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a ) )
26 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
2726, 19, 20ellimc3 22776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) ) )
285, 27mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
2928simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
3029r19.21bi 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )
3130adantrl 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )
32 reeanv 2935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  <->  ( E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) ) )
3325, 31, 32sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
34 ifcl 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
35343ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
36 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )
37 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
38 nfra1 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)
39 nfra1 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
)
4038, 39nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
4136, 37, 40nf3an 1990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
42 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
43 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
44433ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
4542, 44jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ )
)
46 simp12 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
47 simp13l 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )
4845, 46, 47jca31 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
49 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
) )
50 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
51 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
52 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  ->  ph )
53523ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
54 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
55 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
56 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ph )
57 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  A
)
5819sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
5956, 57, 58syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  CC )
6056, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  D  e.  CC )
6159, 60subcld 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( z  -  D )  e.  CC )
6261abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  e.  RR )
63 rpre 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
6463ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR )
65643ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  e  e.  RR )
66 rpre 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  RR+  ->  f  e.  RR )
6766ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  f  e.  RR )
68673ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  f  e.  RR )
6965, 68ifcld 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR )
70 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
71 min1 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  e
)
7265, 68, 71syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
e )
7362, 69, 65, 70, 72ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7453, 54, 50, 55, 73syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7551, 74jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
) )
76 rsp 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
7749, 50, 75, 76syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )
7848, 77syld3an1 1310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)
79 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
8079, 43jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ ) )
81 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
82 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
8380, 81, 82jca31 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
84 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
85 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
86 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
87 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  ph )
88873ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
89 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
90 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
91 min2 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  f
)
9265, 68, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
f )
9362, 69, 68, 70, 92ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9488, 89, 85, 90, 93syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9586, 94jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
) )
96 rsp 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
9784, 85, 95, 96syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )
9883, 97syl3an1 1297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
)
9978, 98jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
100993exp 1204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
10141, 100ralrimi 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
102 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )
103102anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) ) )
104103imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) )  <-> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
105104ralbidv 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
106105rspcev 3125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
10735, 101, 106syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
1081073exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) ) )
109108rexlimdvv 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
11033, 109mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
111110adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
1121113adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
113 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )
114 nfra1 2746 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
115113, 114nfan 1988 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
116 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  ph )
117116ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
1181173ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ph )
119 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  z  e.  A
)
120 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
122 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
123 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
124122, 123oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
125124adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  =  z )  -> 
( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )
126 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
12713ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
12826ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
129127, 128mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
130121, 125, 126, 129fvmptd 5914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
131130oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( B  x.  C
) ) )
132131fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
133118, 119, 132syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( B  x.  C )
) ) )
134127, 128jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC ) )
135118, 119, 134syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( G `
 z )  e.  CC ) )
136 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )
1371363ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
138 rsp 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
1391383imp 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
1401393adant1l 1256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
141 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  -  B )  =  ( ( F `
 z )  -  B ) )
142141fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( c  -  B ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) ) )
143142breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
) )
144143anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( d  -  C
) )  <  b
) ) )
145 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  d ) )
146145oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )
147146fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
148147breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  d )  -  ( B  x.  C )
) )  <  w
) )
149144, 148imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( c  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
150 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
d  -  C )  =  ( ( G `
 z )  -  C ) )
151150fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( d  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) ) )
152151breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
d  -  C ) )  <  b  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
153152anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) ) )
154 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
)  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
155154oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( B  x.  C
) ) )
156155fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
157156breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( B  x.  C )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
159149, 158rspc2v 3134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC )  -> 
( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
160135, 137, 140, 159syl3c 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )
161133, 160eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )
1621613exp 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
163115, 162ralrimi 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
164163ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
165164reximdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) ) )
166112, 165mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
1671663exp 1204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) ) )
168167rexlimdvv 2862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) ) )
16912, 168mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )
170169ralrimiva 2779 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
17113ffvelrnda 5981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
17226ffvelrnda 5981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
173171, 172mulcld 9614 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
174173, 120fmptd 6005 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
175174, 19, 20ellimc3 22776 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( B  x.  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) ) )
1767, 170, 175mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3379   ifcif 3854   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   RR+crp 11253   abscabs 13241   lim CC climc 22759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-fz 11736  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-rest 15264  df-topn 15265  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cnp 20186  df-xms 21277  df-ms 21278  df-limc 22763
This theorem is referenced by:  fourierdlem101  37954  fourierdlem111  37964
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