Theorem mullimcf 37586

Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullimcf.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
mullimcf.g	|- ( ph -> G : A --> CC )
mullimcf.h	|- H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
mullimcf.b	|- ( ph -> B e. ( F lim CC D ) )
mullimcf.c	|- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
mullimcf	|- ( ph -> ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, F   x, G   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)

Proof of Theorem mullimcf

Dummy variables a b e f y z w c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22772	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		mullimcf.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3405	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		limccl 22772	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		mullimcf.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3405	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
7	3, 6	mulcld 9614	. 2 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
8		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
9	3	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> B e. CC )
10	6	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> C e. CC )
11		mulcn2 13602	. . . . 5 |- ( ( w e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
13		mullimcf.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> CC )
14		fdm 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = A )
16		limcrcl 22771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
17	2, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
18	17	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F C_ CC )
19	15, 18	eqsstr3d 3442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ CC )
20	17	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
21	13, 19, 20	ellimc3 22776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( F lim CC D ) <-> ( B e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) ) )
22	2, 21	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
23	22	simprd 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
24	23	r19.21bi 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
25	24	adantrr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
26		mullimcf.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : A --> CC )
27	26, 19, 20	ellimc3 22776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C e. ( G lim CC D ) <-> ( C e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
28	5, 27	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
29	28	simprd 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
30	29	r19.21bi 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
31	30	adantrl 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
32		reeanv 2935	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> ( E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
33	25, 31, 32	sylanbrc 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
34		ifcl 3896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
35	34	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
36		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) )
37		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( e e. RR+ /\ f e. RR+ )
38		nfra1 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
39		nfra1 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
40	38, 39	nfan 1988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
41	36, 37, 40	nf3an 1990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
42		simp11l 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
43		simp1rl 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> a e. RR+ )
44	43	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> a e. RR+ )
45	42, 44	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
46		simp12 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
47		simp13l 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
48	45, 46, 47	jca31 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
49		simp1r 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
50		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
51		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
52		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) -> ph )
53	52	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
54		simp1lr 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
55		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
56		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ph )
57		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. A )
58	19	sselda 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
59	56, 57, 58	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. CC )
60	56, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> D e. CC )
61	59, 60	subcld 9937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( z - D ) e. CC )
62	61	abscld 13441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) e. RR )
63		rpre 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
64	63	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> e e. RR )
65	64	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> e e. RR )
66		rpre 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. RR+ -> f e. RR )
67	66	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> f e. RR )
68	67	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> f e. RR )
69	65, 68	ifcld 3897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR )
70		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
71		min1 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
72	65, 68, 71	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
73	62, 69, 65, 70, 72	ltletrd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
74	53, 54, 50, 55, 73	syl211anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
75	51, 74	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) )
76		rsp 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) )
77	49, 50, 75, 76	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
78	48, 77	syld3an1 1310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a )
79		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ph )
80	79, 43	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
81		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
82		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
83	80, 81, 82	jca31 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
84		simp1r 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
85		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
86		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
87		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> ph )
88	87	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
89		simp1lr 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
90		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
91		min2 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
92	65, 68, 91	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
93	62, 69, 68, 70, 92	ltletrd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
94	88, 89, 85, 90, 93	syl211anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
95	86, 94	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) )
96		rsp 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
97	84, 85, 95, 96	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
98	83, 97	syl3an1 1297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b )
99	78, 98	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
100	99	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
101	41, 100	ralrimi 2765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
102		breq2 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( abs ` ( z - D ) ) < y <-> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) )
103	102	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) <-> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) )
104	103	imbi1d 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
105	104	ralbidv 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) <-> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
106	105	rspcev 3125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
107	35, 101, 106	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
108	107	3exp 1204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) ) )
109	108	rexlimdvv 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
110	33, 109	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
111	110	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
112	111	3adant3 1025	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
113		nfv 1755	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ )
114		nfra1 2746	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
115	113, 114	nfan 1988	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
116		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> ph )
117	116	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ph )
118	117	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ph )
119		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> z e. A )
120		mullimcf.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> H = ( x e. A |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) )
122		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
123		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
124	122, 123	oveq12d 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
125	124	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x = z ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
126		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. A )
127	13	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
128	26	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. CC )
129	127, 128	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
130	121, 125, 126, 129	fvmptd 5914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
131	130	oveq1d 6264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) )
132	131	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
133	118, 119, 132	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
134	127, 128	jca 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
135	118, 119, 134	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
136		simpll3 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
137	136	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
138		rsp 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) )
139	138	3imp 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
140	139	3adant1l 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
141		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c - B ) = ( ( F ` z ) - B ) )
142	141	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( c - B ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) )
143	142	breq1d 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( c - B ) ) < a <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a ) )
144	143	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) ) )
145		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c x. d ) = ( ( F ` z ) x. d ) )
146	145	oveq1d 6264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) )
147	146	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) )
148	147	breq1d 4376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
149	144, 148	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
150		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( d - C ) = ( ( G ` z ) - C ) )
151	150	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( d - C ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) )
152	151	breq1d 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( d - C ) ) < b <-> ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) )
153	152	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) )
154		oveq2 6257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) x. d ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
155	154	oveq1d 6264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) )
156	155	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) )
157	156	breq1d 4376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
158	153, 157	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
159	149, 158	rspc2v 3134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
160	135, 137, 140, 159	syl3c 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( B x. C ) ) ) < w )
161	133, 160	eqbrtrd 4387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w )
162	161	3exp 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
163	115, 162	ralrimi 2765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
164	163	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
165	164	reximdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - B ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - C ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
166	112, 165	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
167	166	3exp 1204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) ) )
168	167	rexlimdvv 2862	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - B ) ) < a /\ ( abs ` ( d - C ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( B x. C ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) )
169	12, 168	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
170	169	ralrimiva 2779	. 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) )
171	13	ffvelrnda 5981	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
172	26	ffvelrnda 5981	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. CC )
173	171, 172	mulcld 9614	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
174	173, 120	fmptd 6005	. . 3 |- ( ph -> H : A --> CC )
175	174, 19, 20	ellimc3 22776	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( B x. C ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( B x. C ) ) ) < w ) ) ) )
176	7, 170, 175	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( B x. C ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   C_ wss 3379   ifcif 3854   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   x. cmul 9495   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9811   RR+crp 11253   abscabs 13241   lim CC climc 22759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-fz 11736  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-rest 15264  df-topn 15265  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cnp 20186  df-xms 21277  df-ms 21278  df-limc 22763

This theorem is referenced by:  fourierdlem101  37954  fourierdlem111  37964