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Theorem mullimcf 31875
Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
mullimcf.g  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
mullimcf.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )
mullimcf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( F lim
CC  D ) )
mullimcf.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
mullimcf  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables  a 
b  e  f  y  z  w  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22496 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 mullimcf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3497 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 limccl 22496 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 mullimcf.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3497 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
73, 6mulcld 9633 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
93adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
106adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
11 mulcn2 13521 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
14 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
16 limcrcl 22495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
172, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1817simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
1915, 18eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
2017simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2113, 19, 20ellimc3 22500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( B  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) ) )
222, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
2322simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )
2423r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a ) )
2524adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a ) )
26 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
2726, 19, 20ellimc3 22500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) ) )
285, 27mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
2928simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
3029r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )
3130adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )
32 reeanv 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  <->  ( E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) ) )
3325, 31, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
34 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
35343ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
36 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )
37 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
38 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)
39 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
)
4038, 39nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
4136, 37, 40nf3an 1931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
42 simp11l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
43 simp1rl 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
44433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
4542, 44jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ )
)
46 simp12 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
47 simp13l 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )
4845, 46, 47jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
49 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
) )
50 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
51 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
52 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  ->  ph )
53523ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
54 simp1lr 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
55 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
56 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ph )
57 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  A
)
5819sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  CC )
6056, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  D  e.  CC )
6159, 60subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( z  -  D )  e.  CC )
6261abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  e.  RR )
63 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR )
65643ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  e  e.  RR )
66 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  RR+  ->  f  e.  RR )
6766ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  f  e.  RR )
68673ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  f  e.  RR )
6965, 68ifcld 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR )
70 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
71 min1 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  e
)
7265, 68, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
e )
7362, 69, 65, 70, 72ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7453, 54, 50, 55, 73syl211anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7551, 74jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
) )
76 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) ) )
7749, 50, 75, 76syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )
7848, 77syld3an1 1274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)
79 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
8079, 43jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ ) )
81 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
82 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
8380, 81, 82jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
84 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
85 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
86 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
87 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  ph )
88873ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
89 simp1lr 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
90 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
91 min2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  f
)
9265, 68, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
f )
9362, 69, 68, 70, 92ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9488, 89, 85, 90, 93syl211anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9586, 94jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
) )
96 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
9784, 85, 95, 96syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )
9883, 97syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
)
9978, 98jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
100993exp 1195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
10141, 100ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
102 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )
103102anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) ) )
104103imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) )  <-> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
105104ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
106105rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
10735, 101, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
1081073exp 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) ) )
109108rexlimdvv 2955 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  C ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
11033, 109mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
111110adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
1121113adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )
113 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )
114 nfra1 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
115113, 114nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )
116 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  ph )
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
1181173ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ph )
119 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  z  e.  A
)
120 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
122 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
124122, 123oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  =  z )  -> 
( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )
126 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
12713ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
12826ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
129127, 128mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
130121, 125, 126, 129fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
131130oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( B  x.  C
) ) )
132131fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
133118, 119, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( B  x.  C )
) ) )
134127, 128jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC ) )
135118, 119, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( G `
 z )  e.  CC ) )
136 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )
1371363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
138 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) ) )
1391383imp 1190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
1401393adant1l 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )
141 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  -  B )  =  ( ( F `
 z )  -  B ) )
142141fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( c  -  B ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) ) )
143142breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a
) )
144143anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( d  -  C
) )  <  b
) ) )
145 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  d ) )
146145oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )
147146fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
148147breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  d )  -  ( B  x.  C )
) )  <  w
) )
149144, 148imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( c  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
150 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
d  -  C )  =  ( ( G `
 z )  -  C ) )
151150fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( d  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) ) )
152151breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
d  -  C ) )  <  b  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )
153152anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) ) )
154 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
)  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
155154oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( B  x.  C
) ) )
156155fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
157156breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( B  x.  C )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
159149, 158rspc2v 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC )  -> 
( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
160135, 137, 140, 159syl3c 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )
161133, 160eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )
1621613exp 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
163115, 162ralrimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
164163ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  B
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  C ) )  <  b ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) )
165164reximdva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  B ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  C
) )  <  b
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) ) )
166112, 165mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
1671663exp 1195 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) ) )
168167rexlimdvv 2955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  B ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  C ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) ) )
16912, 168mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
w ) )
170169ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) )
17113ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
17226ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
173171, 172mulcld 9633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
174173, 120fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
175174, 19, 20ellimc3 22500 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( B  x.  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  w ) ) ) )
1767, 170, 175mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   RR+crp 11245   abscabs 13170   lim CC climc 22483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-limc 22487
This theorem is referenced by:  fourierdlem101  32236  fourierdlem111  32246
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