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Theorem mulle0b 10425
Description: A condition for multiplication to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulle0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )

Proof of Theorem mulle0b
StepHypRef Expression
1 remulcl 9589 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
21le0neg1d 10136 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
3 le0neg2 10073 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
43anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  B )  <-> 
( A  <_  0  /\  -u B  <_  0
) ) )
5 le0neg1 10072 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
65anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  0 )  <-> 
( 0  <_  A  /\  0  <_  -u B
) ) )
74, 6orbi12d 709 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( ( A  <_ 
0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0 ) )  <->  ( ( A  <_  0  /\  -u B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
87adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  (
0  <_  A  /\  B  <_  0 ) )  <-> 
( ( A  <_ 
0  /\  -u B  <_ 
0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
9 renegcl 9894 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
10 mulge0b 10424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  x.  -u B
)  <->  ( ( A  <_  0  /\  -u B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
119, 10sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <-> 
( ( A  <_ 
0  /\  -u B  <_ 
0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  -u B ) ) ) )
12 recn 9594 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
13 recn 9594 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
14 mulneg2 10006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u B
)  =  -u ( A  x.  B )
)
1514breq2d 4465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
1612, 13, 15syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  -u B )  <->  0  <_  -u ( A  x.  B ) ) )
178, 11, 163bitr2rd 282 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  -u ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )
182, 17bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B )  <_  0  <->  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  B )  \/  ( 0  <_  A  /\  B  <_  0
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509    <_ cle 9641   -ucneg 9818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219
This theorem is referenced by:  mulsuble0b  10426  colinearalglem4  24035
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