Theorem mulgt0sr 6366

Description: The product of two positive signed reals is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0sr.1	|- A e. _V
mulgt0sr.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mulgt0sr	|- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A .R B))

Proof of Theorem mulgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0sr.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		ltrelsr 6332	. . . . 5 |- <R C_ (R. X. R.)
3	1, 2	brel 4048	. . . 4 |- (0R <R A -> (0R e. R. /\ A e. R.))
4	3	simprd 352	. . 3 |- (0R <R A -> A e. R.)
5		mulgt0sr.2	. . . . 5 |- B e. _V
6	5, 2	brel 4048	. . . 4 |- (0R <R B -> (0R e. R. /\ B e. R.))
7	6	simprd 352	. . 3 |- (0R <R B -> B e. R.)
8	4, 7	anim12i 360	. 2 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> (A e. R. /\ B e. R.))
9		df-nr 6319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
10		breq2 3342	. . . . 5 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (0R <R [<.x, y>.] ~R <-> 0R <R A))
11	10	anbi1d 679	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ((0R <R [<.x, y>.] ~R /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) <-> (0R <R A /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R )))
12		opreq1 4889	. . . . 5 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R [<.z, w>.] ~R ))
13	12	breq2d 3350	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) <-> 0R <R (A .R [<.z, w>.] ~R )))
14	11, 13	imbi12d 688	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (((0R <R [<.x, y>.] ~R /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) -> 0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R )) <-> ((0R <R A /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) -> 0R <R (A .R [<.z, w>.] ~R ))))
15		breq2 3342	. . . . 5 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (0R <R [<.z, w>.] ~R <-> 0R <R B))
16	15	anbi2d 678	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((0R <R A /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) <-> (0R <R A /\ 0R <R B)))
17		opreq2 4890	. . . . 5 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R B))
18	17	breq2d 3350	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (0R <R (A .R [<.z, w>.] ~R ) <-> 0R <R (A .R B)))
19	16, 18	imbi12d 688	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (((0R <R A /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) -> 0R <R (A .R [<.z, w>.] ~R )) <-> ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A .R B))))
20		addclpr 6272	. . . . . . . 8 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
21		mulclpr 6274	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
22		mulclpr 6274	. . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
23	20, 21, 22	syl2an 503	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
24	23	an4s 566	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
25		simprr 451	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> w e. P.)
26		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. _V
27		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) e. _V
28	26, 27	addcanpr 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((v .P. w) e. P. /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (((v .P. w) +P. ((x .P. z) +P. (y .P. w))) = ((v .P. w) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u))) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u))))
29		opreq12 4891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((y +P. v) .P. (w +P. u)) = (x .P. z))
30	29	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> (((y +P. v) .P. (w +P. u)) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w))) = ((x .P. z) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w))))
31		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((w +P. u) = z -> (y .P. (w +P. u)) = (y .P. z))
32		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- w e. _V
33		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- u e. _V
34	32, 33	distrpr 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y .P. (w +P. u)) = ((y .P. w) +P. (y .P. u))
35	31, 34	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((w +P. u) = z -> ((y .P. w) +P. (y .P. u)) = (y .P. z))
36	35	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((w +P. u) = z -> (((y .P. w) +P. (y .P. u)) +P. ((v .P. w) +P. (v .P. u))) = ((y .P. z) +P. ((v .P. w) +P. (v .P. u))))
37		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- y e. _V
38		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- v e. _V
39		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- f e. _V
40		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- g e. _V
41	39, 40	mulcompr 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f .P. g) = (g .P. f)
42		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- h e. _V
43	40, 42	distrpr 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (f .P. (g +P. h)) = ((f .P. g) +P. (f .P. h))
44	37, 38, 32, 41, 43	caoprdistrr 5000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y +P. v) .P. w) = ((y .P. w) +P. (v .P. w))
45	37, 38, 33, 41, 43	caoprdistrr 5000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y +P. v) .P. u) = ((y .P. u) +P. (v .P. u))
46	44, 45	opreq12i 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y +P. v) .P. w) +P. ((y +P. v) .P. u)) = (((y .P. w) +P. (v .P. w)) +P. ((y .P. u) +P. (v .P. u)))
47	32, 33	distrpr 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y +P. v) .P. (w +P. u)) = (((y +P. v) .P. w) +P. ((y +P. v) .P. u))
48		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y .P. w) e. _V
49		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y .P. u) e. _V
50		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v .P. w) e. _V
51	39, 40	addcompr 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (f +P. g) = (g +P. f)
52	40, 42	addasspr 6276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
53		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v .P. u) e. _V
54	48, 49, 50, 51, 52, 53	caopr4 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y .P. w) +P. (y .P. u)) +P. ((v .P. w) +P. (v .P. u))) = (((y .P. w) +P. (v .P. w)) +P. ((y .P. u) +P. (v .P. u)))
55	46, 47, 54	3eqtr4i 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +P. v) .P. (w +P. u)) = (((y .P. w) +P. (y .P. u)) +P. ((v .P. w) +P. (v .P. u)))
56		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y .P. z) e. _V
57	50, 56, 53, 51, 52	caopr12 4994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) = ((y .P. z) +P. ((v .P. w) +P. (v .P. u)))
58	36, 55, 57	3eqtr4g 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w +P. u) = z -> ((y +P. v) .P. (w +P. u)) = ((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))))
59		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +P. v) = x -> ((y +P. v) .P. w) = (x .P. w))
60	59, 44	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y +P. v) = x -> ((y .P. w) +P. (v .P. w)) = (x .P. w))
61	58, 60	opreqan12rd 4903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> (((y +P. v) .P. (w +P. u)) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w))) = (((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) +P. (x .P. w)))
62	30, 61	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. z) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w))) = (((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) +P. (x .P. w)))
63	48, 50	addasspr 6276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) +P. (v .P. w)) = ((x .P. z) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w)))
64	26, 50	addcompr 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) +P. (v .P. w)) = ((v .P. w) +P. ((x .P. z) +P. (y .P. w)))
65	63, 64	eqtr3i 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x .P. z) +P. ((y .P. w) +P. (v .P. w))) = ((v .P. w) +P. ((x .P. z) +P. (y .P. w)))
66		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x .P. w) e. _V
67		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y .P. z) +P. (v .P. u)) e. _V
68	66, 67	addasspr 6276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((v .P. w) +P. (x .P. w)) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) = ((v .P. w) +P. ((x .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))))
69	50, 67, 66, 51, 52	caopr32 4993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) +P. (x .P. w)) = (((v .P. w) +P. (x .P. w)) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u)))
70	56, 53	addasspr 6276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) = ((x .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u)))
71	70	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v .P. w) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u))) = ((v .P. w) +P. ((x .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))))
72	68, 69, 71	3eqtr4i 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v .P. w) +P. ((y .P. z) +P. (v .P. u))) +P. (x .P. w)) = ((v .P. w) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)))
73	62, 65, 72	3eqtr3g 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((v .P. w) +P. ((x .P. z) +P. (y .P. w))) = ((v .P. w) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u))))
74	28, 73	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((v .P. w) e. P. /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u))))
75	53	ltaddpr2 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. -> ((((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) = ((x .P. z) +P. (y .P. w)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
76		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) <-> (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) = ((x .P. z) +P. (y .P. w)))
77	75, 76	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
78	77	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((v .P. w) e. P. /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. (v .P. u)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
79	74, 78	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((v .P. w) e. P. /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
80		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. P. /\ w e. P.) -> (v .P. w) e. P.)
81	79, 80	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((v e. P. /\ w e. P.) /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
82	81	a1d 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. P. /\ w e. P.) /\ ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.) -> (u e. P. -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w)))))
83	82	exp31 407	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. P. -> (w e. P. -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. -> (u e. P. -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w)))))))
84	83	com13 37	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. -> (w e. P. -> (v e. P. -> (u e. P. -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w)))))))
85	84	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ w e. P.) -> (v e. P. -> (u e. P. -> (((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))))
86	85	imp4c 393	. . . . . . . . 9 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ w e. P.) -> (((v e. P. /\ u e. P.) /\ ((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
87		an4 564	. . . . . . . . 9 |- (((v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ (u e. P. /\ (w +P. u) = z)) <-> ((v e. P. /\ u e. P.) /\ ((y +P. v) = x /\ (w +P. u) = z)))
88	86, 87	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ w e. P.) -> (((v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ (u e. P. /\ (w +P. u) = z)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
89	88	19.23advv 1676	. . . . . . 7 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ w e. P.) -> (E.vE.u((v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ (u e. P. /\ (w +P. u) = z)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
90		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
91	90	ltexpri 6301	. . . . . . . . 9 |- (y <P x -> E.v(v e. P. /\ (y +P. v) = x))
92		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
93	92	ltexpri 6301	. . . . . . . . 9 |- (w <P z -> E.u(u e. P. /\ (w +P. u) = z))
94	91, 93	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- ((y <P x /\ w <P z) -> (E.v(v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ E.u(u e. P. /\ (w +P. u) = z)))
95		eeanv 1707	. . . . . . . 8 |- (E.vE.u((v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ (u e. P. /\ (w +P. u) = z)) <-> (E.v(v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ E.u(u e. P. /\ (w +P. u) = z)))
96	94, 95	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ((y <P x /\ w <P z) -> E.vE.u((v e. P. /\ (y +P. v) = x) /\ (u e. P. /\ (w +P. u) = z)))
97	89, 96	syl5 20	. . . . . 6 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ w e. P.) -> ((y <P x /\ w <P z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
98	24, 25, 97	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((y <P x /\ w <P z) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
99		mulsrpr 6337	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
100	99	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) <-> 0R <R [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R ))
101		oprex 4907	. . . . . . 7 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. _V
102	26, 101	gt0srpr 6339	. . . . . 6 |- (0R <R [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R <-> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w)))
103	100, 102	syl6bb 595	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) <-> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) <P ((x .P. z) +P. (y .P. w))))
104	98, 103	sylibrd 221	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((y <P x /\ w <P z) -> 0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R )))
105	90, 37	gt0srpr 6339	. . . . 5 |- (0R <R [<.x, y>.] ~R <-> y <P x)
106	92, 32	gt0srpr 6339	. . . . 5 |- (0R <R [<.z, w>.] ~R <-> w <P z)
107	105, 106	anbi12i 540	. . . 4 |- ((0R <R [<.x, y>.] ~R /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) <-> (y <P x /\ w <P z))
108	104, 107	syl5ib 223	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((0R <R [<.x, y>.] ~R /\ 0R <R [<.z, w>.] ~R ) -> 0R <R ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R )))
109	9, 14, 19, 108	2ecoptocl 5363	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A .R B)))
110	8, 109	mpcom 60	1 |- ((0R <R A /\ 0R <R B) -> 0R <R (A .R B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  [cec 5316  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   .P. cmp 6140   <P cltp 6141   ~R cer 6144  R.cnr 6145  0Rc0r 6146   .R cmr 6150   <R cltr 6151

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 6367  pre-axmulgt0 6443

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323

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