MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Unicode version

Theorem mulgt0ii 9708
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
mulgt0i.3  |-  0  <  A
mulgt0i.4  |-  0  <  B
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii  |-  0  <  ( A  x.  B
)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2  |-  0  <  A
2 mulgt0i.4 . 2  |-  0  <  B
3 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
4 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
53, 4mulgt0i 9707 . 2  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
61, 2, 5mp2an 672 1  |-  0  <  ( A  x.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    x. cmul 9488    < clt 9619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  13771  efif1olem2  22658  efif1olem4  22660  ang180lem1  22864  ang180lem2  22865  chebbnd1lem3  23379  chebbnd1  23380  fourierswlem  31488
  Copyright terms: Public domain W3C validator