MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0d Structured version   Unicode version

Theorem mulgt0d 9526
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mulgt0d.3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
mulgt0d.4  |-  ( ph  ->  0  <  B )
Assertion
Ref Expression
mulgt0d  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulgt0d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 mulgt0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 mulgt0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  B )
5 mulgt0 9452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282    x. cmul 9287    < clt 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423
This theorem is referenced by:  recgt0  10173  prodgt0  10174  prodge0  10176  ltmul1a  10178  expmulnbnd  11996  itg2monolem3  21230  tangtx  21967  tanregt0  21995  asinsinlem  22286  asinsin  22287  ostth2lem3  22884  xrge0iifhom  26367  itg2gt0cn  28447  pell14qrmulcl  29204  rmxypos  29290  jm2.27a  29354  stoweidlem1  29796  stoweidlem26  29821  stoweidlem44  29839  stoweidlem49  29844  wallispilem4  29863  stirlinglem6  29874
  Copyright terms: Public domain W3C validator