MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0d Structured version   Unicode version

Theorem mulgt0d 9522
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mulgt0d.3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
mulgt0d.4  |-  ( ph  ->  0  <  B )
Assertion
Ref Expression
mulgt0d  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulgt0d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 mulgt0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 mulgt0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  B )
5 mulgt0 9448 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1214 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    x. cmul 9283    < clt 9414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419
This theorem is referenced by:  recgt0  10169  prodgt0  10170  prodge0  10172  ltmul1a  10174  expmulnbnd  11992  itg2monolem3  21189  tangtx  21926  tanregt0  21954  asinsinlem  22245  asinsin  22246  ostth2lem3  22843  xrge0iifhom  26303  itg2gt0cn  28372  pell14qrmulcl  29129  rmxypos  29215  jm2.27a  29279  stoweidlem1  29721  stoweidlem26  29746  stoweidlem44  29764  stoweidlem49  29769  wallispilem4  29788  stirlinglem6  29799
  Copyright terms: Public domain W3C validator