Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm Unicode version

Theorem mulgrhm 16742
 Description: The powers of the element give a ring homomorphism from to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.1 flds
mulgghm2.2 .g
mulgghm2.3
mulgrhm.4
Assertion
Ref Expression
mulgrhm RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mulgrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16707 . . 3 SubRingfld
2 mulgghm2.1 . . . 4 flds
32subrgbas 15832 . . 3 SubRingfld
41, 3ax-mp 8 . 2
5 cnfld1 16681 . . . 4 fld
62, 5subrg1 15833 . . 3 SubRingfld
71, 6ax-mp 8 . 2
8 mulgrhm.4 . 2
9 cnfldmul 16664 . . . 4 fld
102, 9ressmulr 13537 . . 3 SubRingfld
111, 10ax-mp 8 . 2
12 eqid 2404 . 2
132subrgrng 15826 . . 3 SubRingfld
141, 13mp1i 12 . 2
15 id 20 . 2
16 1z 10267 . . . 4
17 oveq1 6047 . . . . 5
18 mulgghm2.3 . . . . 5
19 ovex 6065 . . . . 5
2017, 18, 19fvmpt 5765 . . . 4
2116, 20ax-mp 8 . . 3
22 eqid 2404 . . . . 5
2322, 8rngidcl 15639 . . . 4
24 mulgghm2.2 . . . . 5 .g
2522, 24mulg1 14852 . . . 4
2623, 25syl 16 . . 3
2721, 26syl5eq 2448 . 2
28 rnggrp 15624 . . . . . . . 8
2928adantr 452 . . . . . . 7
30 simprr 734 . . . . . . 7
3123adantr 452 . . . . . . 7
3222, 24mulgcl 14862 . . . . . . 7
3329, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . 6
3422, 12, 8rnglidm 15642 . . . . . 6
3533, 34syldan 457 . . . . 5
3635oveq2d 6056 . . . 4
37 simpl 444 . . . . 5
38 simprl 733 . . . . 5
3922, 24, 12mulgass2 15665 . . . . 5
4037, 38, 31, 33, 39syl13anc 1186 . . . 4
4122, 24mulgass 14875 . . . . 5
4229, 38, 30, 31, 41syl13anc 1186 . . . 4
4336, 40, 423eqtr4rd 2447 . . 3
44 zmulcl 10280 . . . . 5
4544adantl 453 . . . 4
46 oveq1 6047 . . . . 5
47 ovex 6065 . . . . 5
4846, 18, 47fvmpt 5765 . . . 4
4945, 48syl 16 . . 3
50 oveq1 6047 . . . . . 6
51 ovex 6065 . . . . . 6
5250, 18, 51fvmpt 5765 . . . . 5
53 oveq1 6047 . . . . . 6
54 ovex 6065 . . . . . 6
5553, 18, 54fvmpt 5765 . . . . 5
5652, 55oveqan12d 6059 . . . 4
5756adantl 453 . . 3
5843, 49, 573eqtr4d 2446 . 2
592, 24, 18, 22mulgghm2 16741 . . 3
6028, 23, 59syl2anc 643 . 2
614, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 27, 58, 60isrhm2d 15784 1 RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  c1 8947   cmul 8951  cz 10238  cbs 13424   ↾s cress 13425  cmulr 13485  cgrp 14640  .gcmg 14644   cghm 14958  crg 15615  cur 15617   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658 This theorem is referenced by:  mulgrhm2  16743 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-cnfld 16659
 Copyright terms: Public domain W3C validator