Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Structured version   Unicode version

Theorem mulgpropd 16501
 Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. is expected to either be (when strong equality is available) or (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m .g
mulgpropd.n .g
mulgpropd.b1
mulgpropd.b2
mulgpropd.i
mulgpropd.k
mulgpropd.e
Assertion
Ref Expression
mulgpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10
4 ssel 3438 . . . . . . . . . . 11
5 ssel 3438 . . . . . . . . . . 11
64, 5anim12d 563 . . . . . . . . . 10
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9
87imp 429 . . . . . . . 8
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8
108, 9syldan 470 . . . . . . 7
111, 2, 10grpidpropd 16214 . . . . . 6
12113ad2ant1 1020 . . . . 5
13 1zzd 10938 . . . . . . . 8
14 vex 3064 . . . . . . . . . . . 12
1514fvconst2 6109 . . . . . . . . . . 11
16 nnuz 11164 . . . . . . . . . . . 12
1716eqcomi 2417 . . . . . . . . . . 11
1815, 17eleq2s 2512 . . . . . . . . . 10
1918adantl 466 . . . . . . . . 9
2033ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . 11
21 simp3 1001 . . . . . . . . . . 11
2220, 21sseldd 3445 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
2419, 23eqeltrd 2492 . . . . . . . 8
25 mulgpropd.k . . . . . . . . 9
26253ad2antl1 1161 . . . . . . . 8
2793ad2antl1 1161 . . . . . . . 8
2813, 24, 26, 27seqfeq3 12203 . . . . . . 7
2928fveq1d 5853 . . . . . 6
301, 2, 10grpinvpropd 16439 . . . . . . . 8
31303ad2ant1 1020 . . . . . . 7
3228fveq1d 5853 . . . . . . 7
3331, 32fveq12d 5857 . . . . . 6
3429, 33ifeq12d 3907 . . . . 5
3512, 34ifeq12d 3907 . . . 4
3635mpt2eq3dva 6344 . . 3
37 eqidd 2405 . . . 4
38 eqidd 2405 . . . 4
3937, 1, 38mpt2eq123dv 6342 . . 3
40 eqidd 2405 . . . 4
4137, 2, 40mpt2eq123dv 6342 . . 3
4236, 39, 413eqtr3d 2453 . 2
43 eqid 2404 . . 3
44 eqid 2404 . . 3
45 eqid 2404 . . 3
46 eqid 2404 . . 3
47 mulgpropd.m . . 3 .g
4843, 44, 45, 46, 47mulgfval 16469 . 2
49 eqid 2404 . . 3
50 eqid 2404 . . 3
51 eqid 2404 . . 3
52 eqid 2404 . . 3
53 mulgpropd.n . . 3 .g
5449, 50, 51, 52, 53mulgfval 16469 . 2
5542, 48, 543eqtr4g 2470 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844   wss 3416  cif 3887  csn 3974   class class class wbr 4397   cxp 4823  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  cc0 9524  c1 9525   clt 9660  cneg 9844  cn 10578  cz 10907  cuz 11129   cseq 12153  cbs 14843   cplusg 14911  c0g 15056  cminusg 16380  .gcmg 16382 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154  df-0g 15058  df-minusg 16384  df-mulg 16386 This theorem is referenced by:  mulgass3  17608  coe1tm  18636  ply1coe  18659  ply1coeOLD  18660  evl1expd  18703
 Copyright terms: Public domain W3C validator