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Theorem mulgnndir 16363
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnndir  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnndir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2mndcl 16128 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1195 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
54adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  B )
61, 2mndass 16129 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
76adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8 simpr2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  NN )
9 nnuz 11117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
108, 9syl6eleq 2552 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
11 simpr1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10964 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
13 eluzadd 11110 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1410, 12, 13syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  +  M )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
1511nncnd 10547 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
168nncnd 10547 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16addcomd 9771 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  =  ( N  +  M ) )
18 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
19 addcom 9755 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
2015, 18, 19sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M
) )
2120fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
2214, 17, 213eltr4d 2557 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) )
2311, 9syl6eleq 2552 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 simpr3 1002 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
25 elfznn 11717 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  x  e.  NN )
26 fvconst2g 6101 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
2724, 25, 26syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
2824adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  X  e.  B )
2927, 28eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  e.  B )
305, 7, 22, 23, 29seqsplit 12122 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) )  =  ( (  seq 1 ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) ) )
31 nnaddcl 10553 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
3211, 8, 31syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
33 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
34 eqid 2454 . . . 4  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )
351, 2, 33, 34mulgnn 16347 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) ) )
3632, 24, 35syl2anc 659 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) )
371, 2, 33, 34mulgnn 16347 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
3811, 24, 37syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  X )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 M ) )
39 elfznn 11717 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
4024, 39, 26syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
4124adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  X  e.  B )
42 nnaddcl 10553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  +  M
)  e.  NN )
4339, 11, 42syl2anr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  +  M )  e.  NN )
44 fvconst2g 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( x  +  M
)  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { X }
) `  ( x  +  M ) )  =  X )
4541, 43, 44syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  (
x  +  M ) )  =  X )
4640, 45eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( NN  X.  { X } ) `  (
x  +  M ) ) )
4710, 12, 46seqshft2 12115 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N )  =  (  seq ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( N  +  M ) ) )
481, 2, 33, 34mulgnn 16347 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
498, 24, 48syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  =  (  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 N ) )
5020seqeq1d 12095 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) )  =  seq ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) )
5150, 17fveq12d 5854 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  (  seq ( M  +  1
) (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  ( M  +  N
) )  =  (  seq ( 1  +  M ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( N  +  M ) ) )
5247, 49, 513eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  =  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) )
5338, 52oveq12d 6288 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( M  +  N ) ) ) )
5430, 36, 533eqtr4d 2505 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   {csn 4016    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Mndcmnd 16118  .gcmg 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mulg 16259
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  16364  mulgnnass  16369  isarchi3  27965
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