MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnass Structured version   Unicode version

Theorem mulgnnass 16369
Description: Product of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnnass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
21oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( 1  x.  N )  .x.  X ) )
3 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
42, 3eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
1  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
54imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( 1  x.  N
)  .x.  X )  =  ( 1  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) ) )
6 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  N )  =  ( m  x.  N ) )
76oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  x.  N )  .x.  X ) )
8 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
97, 8eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
m  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
109imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
11 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  N )  =  ( ( m  +  1 )  x.  N ) )
1211oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X ) )
13 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1412, 13eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1514imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
16 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
1716oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
18 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
1917, 18eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( n  x.  N )  .x.  X
)  =  ( n 
.x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
2019imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( n  x.  N
)  .x.  X )  =  ( n  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
21 nncn 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2221mulid2d 9603 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
23223ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
2423oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
25 mulgass.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
26 mulgass.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2725, 26mulgnncl 16356 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
28273coml 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( N  .x.  X
)  e.  B )
2925, 26mulg1 16348 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  X )  e.  B  ->  (
1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X
) )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( 1  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( N  .x.  X ) )
3124, 30eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( 1  x.  N )  .x.  X
)  =  ( 1 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )
( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
33 nncn 10539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  m  e.  CC )
35 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  1  e.  CC )
36 simpr1 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  NN )
3736nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  N  e.  CC )
3834, 35, 37adddird 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
3923adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
4039oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4138, 40eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 )  x.  N )  =  ( ( m  x.  N )  +  N
) )
4241oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  +  N )  .x.  X
) )
43 simpr3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  G  e.  Mnd )
44 nnmulcl 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  x.  N
)  e.  NN )
45443ad2antr1 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( m  x.  N )  e.  NN )
46 simpr2 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  X  e.  B )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4825, 26, 47mulgnndir 16363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( m  x.  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
4943, 45, 36, 46, 48syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  +  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5042, 49eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( N 
.x.  X ) ) )
5125, 26, 47mulgnnp1 16349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) ) )
5228, 51sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) )
5350, 52eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( ( m  + 
1 )  x.  N
)  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N  .x.  X ) )  <->  ( ( ( m  x.  N ) 
.x.  X ) ( +g  `  G ) ( N  .x.  X
) )  =  ( ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) ( +g  `  G
) ( N  .x.  X ) ) ) )
5432, 53syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )
)  ->  ( (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) )  ->  ( (
( m  +  1 )  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( ( m  + 
1 )  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5554ex 432 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  x.  N )  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N 
.x.  X ) )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( m  +  1 )  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) ) )
5655a2d 26 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e. 
Mnd )  ->  (
( m  x.  N
)  .x.  X )  =  ( m  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  N )  .x.  X
)  =  ( ( m  +  1 ) 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
575, 10, 15, 20, 31, 56nnind 10549 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  e.  NN  /\  X  e.  B  /\  G  e.  Mnd )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
58573expd 1211 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( G  e.  Mnd  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
5958com4r 86 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( X  e.  B  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) ) )
60593imp2 1209 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   NNcn 10531   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Mndcmnd 16118  .gcmg 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mulg 16259
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  16370
  Copyright terms: Public domain W3C validator