MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Unicode version

Theorem mulgnn0z 14865
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0z.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0z.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10179 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 id 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
3 mulgnn0z.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
53, 4mndidcl 14669 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7 mulgnn0z.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )  =  seq  1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )
93, 6, 7, 8mulgnn 14851 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .0.  e.  B )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
102, 5, 9syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  (  seq  1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
113, 6, 4mndlid 14671 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
125, 11mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
14 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
15 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
175adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  .0.  e.  B )
18 elfznn 11036 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
19 fvconst2g 5904 . . . . . 6  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2017, 18, 19syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  }
) `  x )  =  .0.  )
2113, 16, 20seqid3 11322 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) ) `  N )  =  .0.  )
2210, 21eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
23 oveq1 6047 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  ( 0  .x.  .0.  ) )
243, 4, 7mulg0 14850 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
255, 24syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2623, 25sylan9eqr 2458 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  =  0 )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2722, 26jaodan 761 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
281, 27sylan2b 462 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3774    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  .gcmg 14644
This theorem is referenced by:  mulgz  14866  mulgnn0ass  14874  odmodnn0  15133  mulgmhm  15405  tsmsxp  18137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mulg 14770
  Copyright terms: Public domain W3C validator