Theorem mulgnn0z 15761

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0z.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0z.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10687	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN )
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 15553	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
6		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
8		eqid 2452	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) )
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 15747	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .0. e. B ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
10	2, 5, 9	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
11	3, 6, 4	mndlid 15555	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
12	5, 11	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
13	12	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. NN )
15		nnuz 11002	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2550	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> .0. e. B )
18		elfznn 11590	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
19		fvconst2g 6035	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
21	13, 16, 20	seqid3 11962	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) = .0. )
22	10, 21	eqtrd 2493	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
23		oveq1 6202	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. .0. ) = ( 0 .x. .0. ) )
24	3, 4, 7	mulg0 15746	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
25	5, 24	syl 16	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
26	23, 25	sylan9eqr 2515	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N = 0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
27	22, 26	jaodan 783	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
28	1, 27	sylan2b 475	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {csn 3980   X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   seqcseq 11918   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   Mndcmnd 15523  ._gcmg 15528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-seq 11919  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-mulg 15662

This theorem is referenced by:  mulgz  15762  mulgnn0ass  15770  odmodnn0  16159  mulgmhm  16431  srg1expzeq1  16755  tsmsxp  19856  lply1binomsc  31005