MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0z 15761
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0z.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0z.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10687 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
3 mulgnn0z.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
53, 4mndidcl 15553 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
6 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7 mulgnn0z.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 eqid 2452 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )  =  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )
93, 6, 7, 8mulgnn 15747 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .0.  e.  B )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
102, 5, 9syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
113, 6, 4mndlid 15555 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
125, 11mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
15 nnuz 11002 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2550 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
175adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  .0.  e.  B )
18 elfznn 11590 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
19 fvconst2g 6035 . . . . . 6  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  }
) `  x )  =  .0.  )
2113, 16, 20seqid3 11962 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) ) `  N )  =  .0.  )
2210, 21eqtrd 2493 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
23 oveq1 6202 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  ( 0  .x.  .0.  ) )
243, 4, 7mulg0 15746 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
255, 24syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2623, 25sylan9eqr 2515 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  =  0 )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2722, 26jaodan 783 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
281, 27sylan2b 475 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3980    X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549    seqcseq 11918   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   Mndcmnd 15523  .gcmg 15528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-seq 11919  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-mulg 15662
This theorem is referenced by:  mulgz  15762  mulgnn0ass  15770  odmodnn0  16159  mulgmhm  16431  srg1expzeq1  16755  tsmsxp  19856  lply1binomsc  31005
  Copyright terms: Public domain W3C validator