Theorem mulgnn0z 14865

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0z.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0z.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10179	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		id 20	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN )
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 14669	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
6		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
8		eqid 2404	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) )
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 14851	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .0. e. B ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
10	2, 5, 9	syl2anr 465	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
11	3, 6, 4	mndlid 14671	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
12	5, 11	mpdan 650	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
13	12	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
14		simpr 448	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. NN )
15		nnuz 10477	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2494	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	5	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> .0. e. B )
18		elfznn 11036	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
19		fvconst2g 5904	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
20	17, 18, 19	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
21	13, 16, 20	seqid3 11322	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) = .0. )
22	10, 21	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
23		oveq1 6047	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. .0. ) = ( 0 .x. .0. ) )
24	3, 4, 7	mulg0 14850	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
25	5, 24	syl 16	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
26	23, 25	sylan9eqr 2458	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N = 0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
27	22, 26	jaodan 761	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
28	1, 27	sylan2b 462	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {csn 3774   X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   seq cseq 11278   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  ._gcmg 14644

This theorem is referenced by:  mulgz  14866  mulgnn0ass  14874  odmodnn0  15133  mulgmhm  15405  tsmsxp  18137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mulg 14770