Theorem mulgnn0z 15640

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0z.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0z.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10577	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN )
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 15435	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
6		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
8		eqid 2441	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) )
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 15626	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .0. e. B ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
10	2, 5, 9	syl2anr 475	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
11	3, 6, 4	mndlid 15437	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
12	5, 11	mpdan 663	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
13	12	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
14		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. NN )
15		nnuz 10892	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2531	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	5	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> .0. e. B )
18		elfznn 11474	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
19		fvconst2g 5928	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
20	17, 18, 19	syl2an 474	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
21	13, 16, 20	seqid3 11846	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) = .0. )
22	10, 21	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
23		oveq1 6097	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. .0. ) = ( 0 .x. .0. ) )
24	3, 4, 7	mulg0 15625	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
25	5, 24	syl 16	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
26	23, 25	sylan9eqr 2495	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N = 0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
27	22, 26	jaodan 778	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
28	1, 27	sylan2b 472	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   {csn 3874   X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   seqcseq 11802   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405  ._gcmg 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-mulg 15541

This theorem is referenced by:  mulgz  15641  mulgnn0ass  15649  odmodnn0  16036  mulgmhm  16308  tsmsxp  19688  lply1binomsc  30737