MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0z 15959
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0z.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0z.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10793 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
3 mulgnn0z.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
53, 4mndidcl 15749 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7 mulgnn0z.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )  =  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )
93, 6, 7, 8mulgnn 15945 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .0.  e.  B )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
102, 5, 9syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
113, 6, 4mndlid 15751 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
125, 11mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
15 nnuz 11113 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
175adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  .0.  e.  B )
18 elfznn 11710 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
19 fvconst2g 6112 . . . . . 6  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  }
) `  x )  =  .0.  )
2113, 16, 20seqid3 12114 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) ) `  N )  =  .0.  )
2210, 21eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
23 oveq1 6289 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  ( 0  .x.  .0.  ) )
243, 4, 7mulg0 15944 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
255, 24syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2623, 25sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  =  0 )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2722, 26jaodan 783 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
281, 27sylan2b 475 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668    seqcseq 12070   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   Mndcmnd 15719  .gcmg 15724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-mulg 15858
This theorem is referenced by:  mulgz  15960  mulgnn0ass  15968  odmodnn0  16357  mulgmhm  16629  srg1expzeq1  16975  lply1binomsc  18117  tsmsxp  20389
  Copyright terms: Public domain W3C validator