MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0z 15640
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0z.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0z.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10577 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
3 mulgnn0z.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
53, 4mndidcl 15435 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7 mulgnn0z.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )  =  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )
93, 6, 7, 8mulgnn 15626 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .0.  e.  B )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
102, 5, 9syl2anr 475 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
113, 6, 4mndlid 15437 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
125, 11mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
1312adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
14 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
15 nnuz 10892 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
175adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  .0.  e.  B )
18 elfznn 11474 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
19 fvconst2g 5928 . . . . . 6  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2017, 18, 19syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  }
) `  x )  =  .0.  )
2113, 16, 20seqid3 11846 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) ) `  N )  =  .0.  )
2210, 21eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
23 oveq1 6097 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  ( 0  .x.  .0.  ) )
243, 4, 7mulg0 15625 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
255, 24syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2623, 25sylan9eqr 2495 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  =  0 )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2722, 26jaodan 778 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
281, 27sylan2b 472 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405  .gcmg 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-mulg 15541
This theorem is referenced by:  mulgz  15641  mulgnn0ass  15649  odmodnn0  16036  mulgmhm  16308  tsmsxp  19688  lply1binomsc  30737
  Copyright terms: Public domain W3C validator