Theorem mulgnn0z 15959

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0z.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0z.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10793	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN )
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 15749	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
6		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
8		eqid 2467	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) )
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 15945	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .0. e. B ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
10	2, 5, 9	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
11	3, 6, 4	mndlid 15751	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
12	5, 11	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
13	12	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. NN )
15		nnuz 11113	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2565	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> .0. e. B )
18		elfznn 11710	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
19		fvconst2g 6112	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
21	13, 16, 20	seqid3 12114	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) = .0. )
22	10, 21	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
23		oveq1 6289	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. .0. ) = ( 0 .x. .0. ) )
24	3, 4, 7	mulg0 15944	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
25	5, 24	syl 16	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
26	23, 25	sylan9eqr 2530	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N = 0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
27	22, 26	jaodan 783	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
28	1, 27	sylan2b 475	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {csn 4027   X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   seqcseq 12070   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   Mndcmnd 15719  ._gcmg 15724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-mulg 15858

This theorem is referenced by:  mulgz  15960  mulgnn0ass  15968  odmodnn0  16357  mulgmhm  16629  srg1expzeq1  16975  lply1binomsc  18117  tsmsxp  20389