MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0z 16361
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0z.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0z.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10793 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
3 mulgnn0z.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
53, 4mndidcl 16137 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
6 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7 mulgnn0z.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )  =  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) )
93, 6, 7, 8mulgnn 16347 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  .0.  e.  B )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
102, 5, 9syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  {  .0.  } ) ) `  N
) )
113, 6, 4mndlid 16140 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
125, 11mpdan 666 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
1312adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
14 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
15 nnuz 11117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2552 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
175adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  .0.  e.  B )
18 elfznn 11717 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
19 fvconst2g 6101 . . . . . 6  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2017, 18, 19syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( NN  X.  {  .0.  }
) `  x )  =  .0.  )
2113, 16, 20seqid3 12133 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  {  .0.  } ) ) `  N )  =  .0.  )
2210, 21eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
23 oveq1 6277 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  ( 0  .x.  .0.  ) )
243, 4, 7mulg0 16346 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
255, 24syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
0  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2623, 25sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  =  0 )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2722, 26jaodan 783 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
281, 27sylan2b 473 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {csn 4016    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   Mndcmnd 16118  .gcmg 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mulg 16259
This theorem is referenced by:  mulgz  16362  mulgnn0ass  16370  odmodnn0  16763  mulgmhm  17035  srg1expzeq1  17385  lply1binomsc  18544  tsmsxp  20823
  Copyright terms: Public domain W3C validator