Theorem mulgnn0subcl 16282

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
mulgnn0subcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mulgnn0subcl.c	|- ( ph -> .0. e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0subcl	|- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem mulgnn0subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. V )
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 16281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
8	7	3expa 1196	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN ) /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
9	8	an32s 804	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
10	9	3adantl2 1153	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
11		oveq1 6303	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
12	5	3ad2ant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> S C_ B )
13		simp3 998	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. S )
14	12, 13	sseldd 3500	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. B )
15		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
16	1, 15, 2	mulg0 16274	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )
17	14, 16	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
18	11, 17	sylan9eqr 2520	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = .0. )
19		mulgnn0subcl.c	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. S )
20	19	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> .0. e. S )
21	20	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> .0. e. S )
22	18, 21	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) e. S )
23		simp2 997	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> N e. NN0 )
24		elnn0 10818	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
25	23, 24	sylib 196	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
26	10, 22, 25	mpjaodan 786	1 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857  ._gcmg 16183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-mulg 16187

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  16283  mulgnn0cl  16285  submmulgcl  16303  mplbas2  18261  mplbas2OLD  18262