MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0p1 15643
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0p1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0p1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
3 mulgnn0p1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0p1.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 mulgnn0p1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
63, 4, 5mulgnnp1 15640 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X ) )
71, 2, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N  .x.  X
)  .+  X )
)
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
93, 5, 8mndlid 15446 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
103, 8, 4mulg0 15637 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
1211oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  X ) )
133, 4mulg1 15639 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
159, 12, 143eqtr4rd 2486 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  ( ( 0  .x.  X ) 
.+  X ) )
16153adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
1  .x.  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
17 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
18 1e0p1 10788 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1917, 18syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
2019oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( 1  .x. 
X ) )
21 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  X )  =  ( 0  .x.  X
) )
2221oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  .x.  X
)  .+  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
2320, 22eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X )  <->  ( 1 
.x.  X )  =  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
) ) )
2416, 23syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  =  0  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) ) )
2524imp 429 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N  +  1 ) 
.x.  X )  =  ( ( N  .x.  X )  .+  X
) )
26 simp2 989 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
27 elnn0 10586 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2826, 27sylib 196 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
297, 25, 28mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   0gc0g 14383   Mndcmnd 15414  .gcmg 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-mulg 15553
This theorem is referenced by:  mulgneg2  15659  mhmmulg  15664  srgmulgass  16635  srgpcomp  16636  srgpcompp  16637  srgbinomlem4  16646  srgbinomlem  16647  mplcoe3  17550  mplcoe3OLD  17551  cnfldmulg  17853  cnfldexp  17854  tmdmulg  19668  clmmulg  20670  omndmul  26182  lmodvsmdi  30817  lmodvsmmulgdi  30818  assamulgscmlem2  30826
  Copyright terms: Public domain W3C validator