Theorem mulgnn0di 16627

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	|- B = ( Base ` G )
mulgdi.m	|- .x. = (.g ` G )
mulgdi.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables x k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 16606	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. Mnd )
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	mndcl 15730	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	5	3expb 1197	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
7	2, 6	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
8		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. CMnd )
9	3, 4	cmncom 16607	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
10	9	3expb 1197	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
11	8, 10	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
12	3, 4	mndass 15731	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
13	2, 12	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15		nnuz 11113	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2565	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		simplr2 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> X e. B )
18		elfznn 11710	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
19		fvconst2g 6112	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
21	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> X e. B )
22	20, 21	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) e. B )
23		simplr3 1040	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> Y e. B )
24		fvconst2g 6112	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
25	23, 18, 24	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
26	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> Y e. B )
27	25, 26	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) e. B )
28	3, 4	mndcl 15730	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	2, 17, 23, 28	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( X .+ Y ) e. B )
30		fvconst2g 6112	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
31	29, 18, 30	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
32	20, 25	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) = ( X .+ Y ) )
33	31, 32	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) )
34	7, 11, 13, 16, 22, 27, 33	seqcaopr 12107	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
35		mulgdi.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
36		eqid 2467	. . . . 5 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) )
37	3, 4, 35, 36	mulgnn 15945	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
38	14, 29, 37	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
39		eqid 2467	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
40	3, 4, 35, 39	mulgnn 15945	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
41	14, 17, 40	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42		eqid 2467	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) )
43	3, 4, 35, 42	mulgnn 15945	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
44	14, 23, 43	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
45	41, 44	oveq12d 6300	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
46	34, 38, 45	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
47	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
48		simplr2 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
49		simplr3 1040	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> Y e. B )
50	47, 48, 49, 28	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( X .+ Y ) e. B )
51		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52	3, 51, 35	mulg0 15944	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
53	50, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
54		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
55	54, 51	mndidcl 15749	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
56	54, 4, 51	mndlid 15751	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
57	55, 56	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	1, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 59	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
61		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
62	61	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) )
63	61	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
64	3, 51, 35	mulg0 15944	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
65	48, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
66	63, 65	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
67	61	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0 .x. Y ) )
68	3, 51, 35	mulg0 15944	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
69	49, 68	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
70	67, 69	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
71	66, 70	oveq12d 6300	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
72	60, 62, 71	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
73		simpr1 1002	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. NN0 )
74		elnn0 10793	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
75	73, 74	sylib 196	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
76	46, 72, 75	mpjaodan 784	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {csn 4027   X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   seqcseq 12070   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   Mndcmnd 15719  ._gcmg 15724  CMndccmn 16591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-mulg 15858  df-cmn 16593

This theorem is referenced by:  mulgdi  16628  mulgmhm  16629