Theorem mulgnn0di 16429

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	|- B = ( Base ` G )
mulgdi.m	|- .x. = (.g ` G )
mulgdi.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables x k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 16408	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. Mnd )
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	mndcl 15534	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	5	3expb 1189	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
7	2, 6	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
8		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. CMnd )
9	3, 4	cmncom 16409	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
10	9	3expb 1189	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
11	8, 10	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
12	3, 4	mndass 15535	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
13	2, 12	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15		nnuz 11002	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2550	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		simplr2 1031	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> X e. B )
18		elfznn 11590	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
19		fvconst2g 6035	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
21	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> X e. B )
22	20, 21	eqeltrd 2540	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) e. B )
23		simplr3 1032	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> Y e. B )
24		fvconst2g 6035	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
25	23, 18, 24	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
26	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> Y e. B )
27	25, 26	eqeltrd 2540	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) e. B )
28	3, 4	mndcl 15534	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	2, 17, 23, 28	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( X .+ Y ) e. B )
30		fvconst2g 6035	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
31	29, 18, 30	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
32	20, 25	oveq12d 6213	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) = ( X .+ Y ) )
33	31, 32	eqtr4d 2496	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) )
34	7, 11, 13, 16, 22, 27, 33	seqcaopr 11955	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
35		mulgdi.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
36		eqid 2452	. . . . 5 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) )
37	3, 4, 35, 36	mulgnn 15747	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
38	14, 29, 37	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
39		eqid 2452	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
40	3, 4, 35, 39	mulgnn 15747	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
41	14, 17, 40	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42		eqid 2452	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) )
43	3, 4, 35, 42	mulgnn 15747	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
44	14, 23, 43	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
45	41, 44	oveq12d 6213	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
46	34, 38, 45	3eqtr4d 2503	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
47	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
48		simplr2 1031	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
49		simplr3 1032	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> Y e. B )
50	47, 48, 49, 28	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( X .+ Y ) e. B )
51		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52	3, 51, 35	mulg0 15746	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
53	50, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
54		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
55	54, 51	mndidcl 15553	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
56	54, 4, 51	mndlid 15555	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
57	55, 56	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	1, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 59	eqtr4d 2496	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
61		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
62	61	oveq1d 6210	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) )
63	61	oveq1d 6210	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
64	3, 51, 35	mulg0 15746	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
65	48, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
66	63, 65	eqtrd 2493	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
67	61	oveq1d 6210	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0 .x. Y ) )
68	3, 51, 35	mulg0 15746	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
69	49, 68	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
70	67, 69	eqtrd 2493	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
71	66, 70	oveq12d 6213	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
72	60, 62, 71	3eqtr4d 2503	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
73		simpr1 994	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. NN0 )
74		elnn0 10687	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
75	73, 74	sylib 196	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
76	46, 72, 75	mpjaodan 784	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {csn 3980   X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   seqcseq 11918   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   Mndcmnd 15523  ._gcmg 15528  CMndccmn 16393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-mulg 15662  df-cmn 16395

This theorem is referenced by:  mulgdi  16430  mulgmhm  16431