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Theorem mulgnn0di 16306
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgdi.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgdi.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables  x  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 16285 . . . . . 6  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  G  e. 
Mnd )
3 mulgdi.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgdi.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
53, 4mndcl 15416 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
653expb 1183 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
72, 6sylan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
8 simpll 748 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  G  e. CMnd
)
93, 4cmncom 16286 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
1093expb 1183 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
118, 10sylan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
123, 4mndass 15417 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
132, 12sylan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
14 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
15 nnuz 10892 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15syl6eleq 2531 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
17 simplr2 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  X  e.  B )
18 elfznn 11474 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
19 fvconst2g 5928 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  k )  =  X )
2017, 18, 19syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  k
)  =  X )
2117adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  X  e.  B )
2220, 21eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  k
)  e.  B )
23 simplr3 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  Y  e.  B )
24 fvconst2g 5928 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  B  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { Y } ) `  k )  =  Y )
2523, 18, 24syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  { Y } ) `  k
)  =  Y )
2623adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  Y  e.  B )
2725, 26eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  { Y } ) `  k
)  e.  B )
283, 4mndcl 15416 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
292, 17, 23, 28syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( X 
.+  Y )  e.  B )
30 fvconst2g 5928 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  e.  B  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( X  .+  Y ) } ) `
 k )  =  ( X  .+  Y
) )
3129, 18, 30syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  {
( X  .+  Y
) } ) `  k )  =  ( X  .+  Y ) )
3220, 25oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( NN  X.  { X } ) `  k )  .+  (
( NN  X.  { Y } ) `  k
) )  =  ( X  .+  Y ) )
3331, 32eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( NN  X.  {
( X  .+  Y
) } ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { X } ) `  k )  .+  (
( NN  X.  { Y } ) `  k
) ) )
347, 11, 13, 16, 22, 27, 33seqcaopr 11839 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  {
( X  .+  Y
) } ) ) `
 M )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { Y } ) ) `  M ) ) )
35 mulgdi.m . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
36 eqid 2441 . . . . 5  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { ( X 
.+  Y ) } ) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  {
( X  .+  Y
) } ) )
373, 4, 35, 36mulgnn 15626 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  (  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { ( X 
.+  Y ) } ) ) `  M
) )
3814, 29, 37syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { ( X 
.+  Y ) } ) ) `  M
) )
39 eqid 2441 . . . . . 6  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) )
403, 4, 35, 39mulgnn 15626 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { X } ) ) `  M ) )
4114, 17, 40syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( M 
.x.  X )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  M
) )
42 eqid 2441 . . . . . 6  |-  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { Y }
) )  =  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { Y } ) )
433, 4, 35, 42mulgnn 15626 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y
)  =  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { Y } ) ) `  M ) )
4414, 23, 43syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( M 
.x.  Y )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  ( NN 
X.  { Y }
) ) `  M
) )
4541, 44oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) )  =  ( (  seq 1
(  .+  ,  ( NN  X.  { X }
) ) `  M
)  .+  (  seq 1 (  .+  , 
( NN  X.  { Y } ) ) `  M ) ) )
4634, 38, 453eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN )  ->  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
471ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  G  e.  Mnd )
48 simplr2 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  X  e.  B )
49 simplr3 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  Y  e.  B )
5047, 48, 49, 28syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
51 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
523, 51, 35mulg0 15625 . . . . 5  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  B  ->  (
0  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( 0g `  G
) )
5350, 52syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
0  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( 0g `  G
) )
54 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5554, 51mndidcl 15435 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
5654, 4, 51mndlid 15437 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
5755, 56mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
581, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5958ad2antrr 720 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
6053, 59eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
0  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
61 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  M  =  0 )
6261oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .+  Y ) ) )
6361oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  X )  =  ( 0  .x.  X
) )
643, 51, 35mulg0 15625 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
6548, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
6663, 65eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  X )  =  ( 0g `  G
) )
6761oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  Y )  =  ( 0  .x.  Y
) )
683, 51, 35mulg0 15625 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  (
0  .x.  Y )  =  ( 0g `  G ) )
6949, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
0  .x.  Y )  =  ( 0g `  G ) )
7067, 69eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  Y )  =  ( 0g `  G
) )
7166, 70oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
7260, 62, 713eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  = 
0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
73 simpr1 989 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  NN0 )
74 elnn0 10577 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
7573, 74sylib 196 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  e.  NN  \/  M  =  0
) )
7646, 72, 75mpjaodan 779 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405  .gcmg 15410  CMndccmn 16270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-mulg 15541  df-cmn 16272
This theorem is referenced by:  mulgdi  16307  mulgmhm  16308
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