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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnn0di | Structured version Unicode version |
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) |
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mulgdi.b |
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mulgdi.m |
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mulgdi.p |
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mulgnn0di |
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1 | cmnmnd 16408 |
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2 | 1 | ad2antrr 725 |
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3 | mulgdi.b |
. . . . . . 7
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4 | mulgdi.p |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | mndcl 15534 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3expb 1189 |
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7 | 2, 6 | sylan 471 |
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8 | simpll 753 |
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9 | 3, 4 | cmncom 16409 |
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10 | 9 | 3expb 1189 |
. . . . 5
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11 | 8, 10 | sylan 471 |
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12 | 3, 4 | mndass 15535 |
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13 | 2, 12 | sylan 471 |
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14 | simpr 461 |
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15 | nnuz 11002 |
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16 | 14, 15 | syl6eleq 2550 |
. . . 4
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17 | simplr2 1031 |
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18 | elfznn 11590 |
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19 | fvconst2g 6035 |
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20 | 17, 18, 19 | syl2an 477 |
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21 | 17 | adantr 465 |
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22 | 20, 21 | eqeltrd 2540 |
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23 | simplr3 1032 |
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24 | fvconst2g 6035 |
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25 | 23, 18, 24 | syl2an 477 |
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26 | 23 | adantr 465 |
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27 | 25, 26 | eqeltrd 2540 |
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28 | 3, 4 | mndcl 15534 |
. . . . . . 7
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29 | 2, 17, 23, 28 | syl3anc 1219 |
. . . . . 6
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30 | fvconst2g 6035 |
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31 | 29, 18, 30 | syl2an 477 |
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32 | 20, 25 | oveq12d 6213 |
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33 | 31, 32 | eqtr4d 2496 |
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34 | 7, 11, 13, 16, 22, 27, 33 | seqcaopr 11955 |
. . 3
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35 | mulgdi.m |
. . . . 5
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36 | eqid 2452 |
. . . . 5
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37 | 3, 4, 35, 36 | mulgnn 15747 |
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38 | 14, 29, 37 | syl2anc 661 |
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39 | eqid 2452 |
. . . . . 6
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40 | 3, 4, 35, 39 | mulgnn 15747 |
. . . . 5
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41 | 14, 17, 40 | syl2anc 661 |
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42 | eqid 2452 |
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43 | 3, 4, 35, 42 | mulgnn 15747 |
. . . . 5
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44 | 14, 23, 43 | syl2anc 661 |
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45 | 41, 44 | oveq12d 6213 |
. . 3
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46 | 34, 38, 45 | 3eqtr4d 2503 |
. 2
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47 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
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48 | simplr2 1031 |
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49 | simplr3 1032 |
. . . . . 6
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50 | 47, 48, 49, 28 | syl3anc 1219 |
. . . . 5
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51 | eqid 2452 |
. . . . . 6
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52 | 3, 51, 35 | mulg0 15746 |
. . . . 5
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53 | 50, 52 | syl 16 |
. . . 4
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54 | eqid 2452 |
. . . . . . . 8
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55 | 54, 51 | mndidcl 15553 |
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56 | 54, 4, 51 | mndlid 15555 |
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57 | 55, 56 | mpdan 668 |
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58 | 1, 57 | syl 16 |
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59 | 58 | ad2antrr 725 |
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60 | 53, 59 | eqtr4d 2496 |
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61 | simpr 461 |
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62 | 61 | oveq1d 6210 |
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63 | 61 | oveq1d 6210 |
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64 | 3, 51, 35 | mulg0 15746 |
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65 | 48, 64 | syl 16 |
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66 | 63, 65 | eqtrd 2493 |
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67 | 61 | oveq1d 6210 |
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68 | 3, 51, 35 | mulg0 15746 |
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69 | 49, 68 | syl 16 |
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70 | 67, 69 | eqtrd 2493 |
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71 | 66, 70 | oveq12d 6213 |
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72 | 60, 62, 71 | 3eqtr4d 2503 |
. 2
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73 | simpr1 994 |
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74 | elnn0 10687 |
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75 | 73, 74 | sylib 196 |
. 2
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76 | 46, 72, 75 | mpjaodan 784 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1954 ax-ext 2431 ax-rep 4506 ax-sep 4516 ax-nul 4524 ax-pow 4573 ax-pr 4634 ax-un 6477 ax-inf2 7953 ax-cnex 9444 ax-resscn 9445 ax-1cn 9446 ax-icn 9447 ax-addcl 9448 ax-addrcl 9449 ax-mulcl 9450 ax-mulrcl 9451 ax-mulcom 9452 ax-addass 9453 ax-mulass 9454 ax-distr 9455 ax-i2m1 9456 ax-1ne0 9457 ax-1rid 9458 ax-rnegex 9459 ax-rrecex 9460 ax-cnre 9461 ax-pre-lttri 9462 ax-pre-lttrn 9463 ax-pre-ltadd 9464 ax-pre-mulgt0 9465 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2265 df-mo 2266 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2602 df-ne 2647 df-nel 2648 df-ral 2801 df-rex 2802 df-reu 2803 df-rmo 2804 df-rab 2805 df-v 3074 df-sbc 3289 df-csb 3391 df-dif 3434 df-un 3436 df-in 3438 df-ss 3445 df-pss 3447 df-nul 3741 df-if 3895 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4195 df-iun 4276 df-br 4396 df-opab 4454 df-mpt 4455 df-tr 4489 df-eprel 4735 df-id 4739 df-po 4744 df-so 4745 df-fr 4782 df-we 4784 df-ord 4825 df-on 4826 df-lim 4827 df-suc 4828 df-xp 4949 df-rel 4950 df-cnv 4951 df-co 4952 df-dm 4953 df-rn 4954 df-res 4955 df-ima 4956 df-iota 5484 df-fun 5523 df-fn 5524 df-f 5525 df-f1 5526 df-fo 5527 df-f1o 5528 df-fv 5529 df-riota 6156 df-ov 6198 df-oprab 6199 df-mpt2 6200 df-om 6582 df-1st 6682 df-2nd 6683 df-recs 6937 df-rdg 6971 df-er 7206 df-en 7416 df-dom 7417 df-sdom 7418 df-pnf 9526 df-mnf 9527 df-xr 9528 df-ltxr 9529 df-le 9530 df-sub 9703 df-neg 9704 df-nn 10429 df-n0 10686 df-z 10753 df-uz 10968 df-fz 11550 df-fzo 11661 df-seq 11919 df-0g 14494 df-mnd 15529 df-mulg 15662 df-cmn 16395 |
This theorem is referenced by: mulgdi 16430 mulgmhm 16431 |
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