Theorem mulgnn0di 16961

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	|- B = ( Base ` G )
mulgdi.m	|- .x. = (.g ` G )
mulgdi.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables x k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 16940	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. Mnd )
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	mndcl 16056	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	5	3expb 1197	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
7	2, 6	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
8		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. CMnd )
9	3, 4	cmncom 16941	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
10	9	3expb 1197	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
11	8, 10	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
12	3, 4	mndass 16057	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
13	2, 12	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15		nnuz 11141	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2555	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		simplr2 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> X e. B )
18		elfznn 11739	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
19		fvconst2g 6126	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
20	17, 18, 19	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
21	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> X e. B )
22	20, 21	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) e. B )
23		simplr3 1040	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> Y e. B )
24		fvconst2g 6126	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
25	23, 18, 24	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
26	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> Y e. B )
27	25, 26	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) e. B )
28	3, 4	mndcl 16056	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	2, 17, 23, 28	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( X .+ Y ) e. B )
30		fvconst2g 6126	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
31	29, 18, 30	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
32	20, 25	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) = ( X .+ Y ) )
33	31, 32	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) )
34	7, 11, 13, 16, 22, 27, 33	seqcaopr 12147	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
35		mulgdi.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
36		eqid 2457	. . . . 5 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) )
37	3, 4, 35, 36	mulgnn 16275	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
38	14, 29, 37	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
39		eqid 2457	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
40	3, 4, 35, 39	mulgnn 16275	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
41	14, 17, 40	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42		eqid 2457	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) )
43	3, 4, 35, 42	mulgnn 16275	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
44	14, 23, 43	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
45	41, 44	oveq12d 6314	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
46	34, 38, 45	3eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
47	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
48		simplr2 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
49		simplr3 1040	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> Y e. B )
50	47, 48, 49, 28	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( X .+ Y ) e. B )
51		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52	3, 51, 35	mulg0 16274	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
53	50, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
54		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
55	54, 51	mndidcl 16065	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
56	54, 4, 51	mndlid 16068	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
57	55, 56	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	1, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 59	eqtr4d 2501	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
61		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
62	61	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) )
63	61	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
64	3, 51, 35	mulg0 16274	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
65	48, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
66	63, 65	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
67	61	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0 .x. Y ) )
68	3, 51, 35	mulg0 16274	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
69	49, 68	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
70	67, 69	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
71	66, 70	oveq12d 6314	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
72	60, 62, 71	3eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
73		simpr1 1002	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. NN0 )
74		elnn0 10818	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
75	73, 74	sylib 196	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
76	46, 72, 75	mpjaodan 786	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {csn 4032   X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   seqcseq 12110   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046  ._gcmg 16183  CMndccmn 16925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mulg 16187  df-cmn 16927

This theorem is referenced by:  mulgdi  16962  mulgmhm  16963