Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0di 16627
 Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b
mulgdi.m .g
mulgdi.p
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di CMnd

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 16606 . . . . . 6 CMnd
21ad2antrr 725 . . . . 5 CMnd
3 mulgdi.b . . . . . . 7
4 mulgdi.p . . . . . . 7
53, 4mndcl 15730 . . . . . 6
653expb 1197 . . . . 5
72, 6sylan 471 . . . 4 CMnd
8 simpll 753 . . . . 5 CMnd CMnd
93, 4cmncom 16607 . . . . . 6 CMnd
1093expb 1197 . . . . 5 CMnd
118, 10sylan 471 . . . 4 CMnd
123, 4mndass 15731 . . . . 5
132, 12sylan 471 . . . 4 CMnd
14 simpr 461 . . . . 5 CMnd
15 nnuz 11113 . . . . 5
1614, 15syl6eleq 2565 . . . 4 CMnd
17 simplr2 1039 . . . . . 6 CMnd
18 elfznn 11710 . . . . . 6
19 fvconst2g 6112 . . . . . 6
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . 5 CMnd
2117adantr 465 . . . . 5 CMnd
2220, 21eqeltrd 2555 . . . 4 CMnd
23 simplr3 1040 . . . . . 6 CMnd
24 fvconst2g 6112 . . . . . 6
2523, 18, 24syl2an 477 . . . . 5 CMnd
2623adantr 465 . . . . 5 CMnd
2725, 26eqeltrd 2555 . . . 4 CMnd
283, 4mndcl 15730 . . . . . . 7
292, 17, 23, 28syl3anc 1228 . . . . . 6 CMnd
30 fvconst2g 6112 . . . . . 6
3129, 18, 30syl2an 477 . . . . 5 CMnd
3220, 25oveq12d 6300 . . . . 5 CMnd
3331, 32eqtr4d 2511 . . . 4 CMnd
347, 11, 13, 16, 22, 27, 33seqcaopr 12107 . . 3 CMnd
35 mulgdi.m . . . . 5 .g
36 eqid 2467 . . . . 5
373, 4, 35, 36mulgnn 15945 . . . 4
3814, 29, 37syl2anc 661 . . 3 CMnd
39 eqid 2467 . . . . . 6
403, 4, 35, 39mulgnn 15945 . . . . 5
4114, 17, 40syl2anc 661 . . . 4 CMnd
42 eqid 2467 . . . . . 6
433, 4, 35, 42mulgnn 15945 . . . . 5
4414, 23, 43syl2anc 661 . . . 4 CMnd
4541, 44oveq12d 6300 . . 3 CMnd
4634, 38, 453eqtr4d 2518 . 2 CMnd
471ad2antrr 725 . . . . . 6 CMnd
48 simplr2 1039 . . . . . 6 CMnd
49 simplr3 1040 . . . . . 6 CMnd
5047, 48, 49, 28syl3anc 1228 . . . . 5 CMnd
51 eqid 2467 . . . . . 6
523, 51, 35mulg0 15944 . . . . 5
5350, 52syl 16 . . . 4 CMnd
54 eqid 2467 . . . . . . . 8
5554, 51mndidcl 15749 . . . . . . 7
5654, 4, 51mndlid 15751 . . . . . . 7
5755, 56mpdan 668 . . . . . 6
581, 57syl 16 . . . . 5 CMnd
5958ad2antrr 725 . . . 4 CMnd
6053, 59eqtr4d 2511 . . 3 CMnd
61 simpr 461 . . . 4 CMnd
6261oveq1d 6297 . . 3 CMnd
6361oveq1d 6297 . . . . 5 CMnd
643, 51, 35mulg0 15944 . . . . . 6
6548, 64syl 16 . . . . 5 CMnd
6663, 65eqtrd 2508 . . . 4 CMnd
6761oveq1d 6297 . . . . 5 CMnd
683, 51, 35mulg0 15944 . . . . . 6
6949, 68syl 16 . . . . 5 CMnd
7067, 69eqtrd 2508 . . . 4 CMnd
7166, 70oveq12d 6300 . . 3 CMnd
7260, 62, 713eqtr4d 2518 . 2 CMnd
73 simpr1 1002 . . 3 CMnd
74 elnn0 10793 . . 3
7573, 74sylib 196 . 2 CMnd
7646, 72, 75mpjaodan 784 1 CMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  csn 4027   cxp 4997  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc0 9488  c1 9489  cn 10532  cn0 10791  cuz 11078  cfz 11668   cseq 12070  cbs 14483   cplusg 14548  c0g 14688  cmnd 15719  .gcmg 15724  CMndccmn 16591 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-mulg 15858  df-cmn 16593 This theorem is referenced by:  mulgdi  16628  mulgmhm  16629
 Copyright terms: Public domain W3C validator