Theorem mulgnn0di 15403

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	|- B = ( Base ` G )
mulgdi.m	|- .x. = (.g ` G )
mulgdi.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables x k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 15382	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. Mnd )
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	mndcl 14650	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	5	3expb 1154	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
7	2, 6	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
8		simpll 731	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. CMnd )
9	3, 4	cmncom 15383	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
10	9	3expb 1154	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
11	8, 10	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
12	3, 4	mndass 14651	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
13	2, 12	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15		nnuz 10477	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2494	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		simplr2 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> X e. B )
18		elfznn 11036	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
19		fvconst2g 5904	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
20	17, 18, 19	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
21	17	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> X e. B )
22	20, 21	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) e. B )
23		simplr3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> Y e. B )
24		fvconst2g 5904	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
25	23, 18, 24	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
26	23	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> Y e. B )
27	25, 26	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) e. B )
28	3, 4	mndcl 14650	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	2, 17, 23, 28	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( X .+ Y ) e. B )
30		fvconst2g 5904	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
31	29, 18, 30	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
32	20, 25	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) = ( X .+ Y ) )
33	31, 32	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) )
34	7, 11, 13, 16, 22, 27, 33	seqcaopr 11315	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
35		mulgdi.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
36		eqid 2404	. . . . 5 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) )
37	3, 4, 35, 36	mulgnn 14851	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
38	14, 29, 37	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
39		eqid 2404	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
40	3, 4, 35, 39	mulgnn 14851	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
41	14, 17, 40	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42		eqid 2404	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) )
43	3, 4, 35, 42	mulgnn 14851	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
44	14, 23, 43	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
45	41, 44	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
46	34, 38, 45	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
47	1	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
48		simplr2 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
49		simplr3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> Y e. B )
50	47, 48, 49, 28	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( X .+ Y ) e. B )
51		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52	3, 51, 35	mulg0 14850	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
53	50, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
54		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
55	54, 51	mndidcl 14669	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
56	54, 4, 51	mndlid 14671	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
57	55, 56	mpdan 650	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	1, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
59	58	ad2antrr 707	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 59	eqtr4d 2439	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
61		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
62	61	oveq1d 6055	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) )
63	61	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
64	3, 51, 35	mulg0 14850	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
65	48, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
66	63, 65	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
67	61	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0 .x. Y ) )
68	3, 51, 35	mulg0 14850	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
69	49, 68	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
70	67, 69	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
71	66, 70	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
72	60, 62, 71	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
73		simpr1 963	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. NN0 )
74		elnn0 10179	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
75	73, 74	sylib 189	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
76	46, 72, 75	mpjaodan 762	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   {csn 3774   X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   seq cseq 11278   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639  ._gcmg 14644  CMndccmn 15367

This theorem is referenced by:  mulgdi  15404  mulgmhm  15405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mulg 14770  df-cmn 15369