MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Structured version   Unicode version

Theorem mulgnegnn 16476
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg1.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnegnn.i  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( I `  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 10584 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
21negnegd 9958 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u -u N  =  N )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  -> 
-u -u N  =  N )
43fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u -u N
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
54fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) )  =  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) ) )
6 nnnegz 10908 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
7 mulg1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
10 mulgnegnn.i . . . . 5  |-  I  =  ( invg `  G )
11 mulg1.m . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
12 eqid 2402 . . . . 5  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 16468 . . . 4  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  if ( -u N  =  0 ,  ( 0g
`  G ) ,  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u N ) ,  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) ) ) )
146, 13sylan 469 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  if ( -u N  =  0 ,  ( 0g
`  G ) ,  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u N ) ,  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) ) ) )
15 nnne0 10609 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
16 negeq0 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  =  0  <->  -u N  =  0 ) )
1716necon3abid 2649 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  =/=  0  <->  -.  -u N  =  0 ) )
181, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =/=  0  <->  -.  -u N  =  0 ) )
1915, 18mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  -u N  =  0 )
2019iffalsed 3896 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( -u N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u N
) ,  ( I `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u -u N
) ) ) )  =  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 -u N ) ,  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) ) )
21 nnre 10583 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2221renegcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  RR )
23 nngt0 10605 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2421lt0neg2d 10163 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  <->  -u N  <  0 ) )
2523, 24mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  <  0 )
26 0re 9626 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
27 ltnsym 9714 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N ) )
2826, 27mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  RR  ->  (
-u N  <  0  ->  -.  0  <  -u N
) )
2922, 25, 28sylc 59 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  0  <  -u N )
3029iffalsed 3896 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u N
) ,  ( I `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u -u N
) ) )  =  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) )
3120, 30eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( -u N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u N
) ,  ( I `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u -u N
) ) ) )  =  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 -u -u N ) ) )
3231adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  if ( -u N  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  -u N ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 -u N ) ,  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) ) )  =  ( I `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  -u -u N
) ) )
3314, 32eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u -u N ) ) )
347, 8, 11, 12mulgnn 16472 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
3534fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( I `  ( N  .x.  X ) )  =  ( I `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 N ) ) )
365, 33, 353eqtr4d 2453 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( I `  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    < clt 9658   -ucneg 9842   NNcn 10576   ZZcz 10905    seqcseq 12151   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   invgcminusg 16378  .gcmg 16380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-z 10906  df-seq 12152  df-mulg 16384
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  16480  mulgneg  16484  mulgneg2  16493  cnfldmulg  18770  tgpmulg  20884  xrsmulgzz  28118  archiabllem1b  28188
  Copyright terms: Public domain W3C validator