Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Unicode version

Theorem mulgmhm 16707
 Description: The map from to for a fixed positive integer is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b
mulgmhm.m .g
Assertion
Ref Expression
mulgmhm CMnd MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 16684 . . . 4 CMnd
21adantr 465 . . 3 CMnd
32, 2jca 532 . 2 CMnd
4 mulgmhm.b . . . . . . 7
5 mulgmhm.m . . . . . . 7 .g
64, 5mulgnn0cl 16029 . . . . . 6
71, 6syl3an1 1261 . . . . 5 CMnd
873expa 1196 . . . 4 CMnd
9 eqid 2467 . . . 4
108, 9fmptd 6056 . . 3 CMnd
11 3anass 977 . . . . . . 7
12 eqid 2467 . . . . . . . 8
134, 5, 12mulgnn0di 16705 . . . . . . 7 CMnd
1411, 13sylan2br 476 . . . . . 6 CMnd
1514anassrs 648 . . . . 5 CMnd
164, 12mndcl 15801 . . . . . . . 8
17163expb 1197 . . . . . . 7
182, 17sylan 471 . . . . . 6 CMnd
19 oveq2 6303 . . . . . . 7
20 ovex 6320 . . . . . . 7
2119, 9, 20fvmpt 5957 . . . . . 6
2218, 21syl 16 . . . . 5 CMnd
23 oveq2 6303 . . . . . . . 8
24 ovex 6320 . . . . . . . 8
2523, 9, 24fvmpt 5957 . . . . . . 7
26 oveq2 6303 . . . . . . . 8
27 ovex 6320 . . . . . . . 8
2826, 9, 27fvmpt 5957 . . . . . . 7
2925, 28oveqan12d 6314 . . . . . 6
3029adantl 466 . . . . 5 CMnd
3115, 22, 303eqtr4d 2518 . . . 4 CMnd
3231ralrimivva 2888 . . 3 CMnd
33 eqid 2467 . . . . . 6
344, 33mndidcl 15810 . . . . 5
35 oveq2 6303 . . . . . 6
36 ovex 6320 . . . . . 6
3735, 9, 36fvmpt 5957 . . . . 5
382, 34, 373syl 20 . . . 4 CMnd
394, 5, 33mulgnn0z 16033 . . . . 5
401, 39sylan 471 . . . 4 CMnd
4138, 40eqtrd 2508 . . 3 CMnd
4210, 32, 413jca 1176 . 2 CMnd
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 15840 . 2 MndHom
443, 42, 43sylanbrc 664 1 CMnd MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817   cmpt 4511  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cn0 10807  cbs 14506   cplusg 14571  c0g 14711  cmnd 15792   MndHom cmhm 15836  .gcmg 15927  CMndccmn 16669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-mulg 15931  df-cmn 16671 This theorem is referenced by:  gsummulglem  16835
 Copyright terms: Public domain W3C validator