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Theorem mulgmhm 16308
Description: The map from  x to  n x for a fixed positive integer  n is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgmhm  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 16285 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21adantr 462 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
32, 2jca 529 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd ) )
4 mulgmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
64, 5mulgnn0cl 15636 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
71, 6syl3an1 1246 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x
)  e.  B )
9 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 5864 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 964 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
12 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
134, 5, 12mulgnn0di 16306 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1411, 13sylan2br 473 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1514anassrs 643 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
164, 12mndcl 15416 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
17163expb 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
182, 17sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
19 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
20 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2119, 9, 20fvmpt 5771 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
23 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
24 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2523, 9, 24fvmpt 5771 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
26 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
27 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2826, 9, 27fvmpt 5771 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2925, 28oveqan12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3029adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  z ) ) )
3115, 22, 303eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
3231ralrimivva 2806 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
33 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
344, 33mndidcl 15435 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
35 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
36 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  ( 0g `  G ) )  e. 
_V
3735, 9, 36fvmpt 5771 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
382, 34, 373syl 20 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
394, 5, 33mulgnn0z 15640 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
401, 39sylan 468 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
4138, 40eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4210, 32, 413jca 1163 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 15462 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G )  <->  ( ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
443, 42, 43sylanbrc 659 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405  .gcmg 15410   MndHom cmhm 15458  CMndccmn 16270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-mulg 15541  df-cmn 16272
This theorem is referenced by:  gsummulglem  16429
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