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Theorem mulgmhm 16330
Description: The map from  x to  n x for a fixed positive integer  n is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgmhm  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 16307 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
32, 2jca 532 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd ) )
4 mulgmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
64, 5mulgnn0cl 15658 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
71, 6syl3an1 1251 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1187 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x
)  e.  B )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 5882 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 969 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
12 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
134, 5, 12mulgnn0di 16328 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1411, 13sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1514anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
164, 12mndcl 15435 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
17163expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
182, 17sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
19 oveq2 6114 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
20 ovex 6131 . . . . . . 7  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2119, 9, 20fvmpt 5789 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
23 oveq2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
24 ovex 6131 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2523, 9, 24fvmpt 5789 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
26 oveq2 6114 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
27 ovex 6131 . . . . . . . 8  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2826, 9, 27fvmpt 5789 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2925, 28oveqan12d 6125 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3029adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  z ) ) )
3115, 22, 303eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
3231ralrimivva 2823 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  y ) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
344, 33mndidcl 15454 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
35 oveq2 6114 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
36 ovex 6131 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  ( 0g `  G ) )  e. 
_V
3735, 9, 36fvmpt 5789 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
382, 34, 373syl 20 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( M  .x.  ( 0g `  G ) ) )
394, 5, 33mulgnn0z 15662 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
401, 39sylan 471 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
4138, 40eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4210, 32, 413jca 1168 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 15481 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G )  <->  ( ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) : B --> B  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
443, 42, 43sylanbrc 664 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730    e. cmpt 4365   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   NN0cn0 10594   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   0gc0g 14393   Mndcmnd 15424  .gcmg 15429   MndHom cmhm 15477  CMndccmn 16292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-mulg 15563  df-cmn 16294
This theorem is referenced by:  gsummulglem  16452
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