Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm2OLD Structured version   Unicode version

Theorem mulgghm2OLD 18512
 Description: The powers of a group element give a homomorphism from to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) Obsolete version of mulgghm2 18509 as of 12-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2OLD.1 flds
mulgghm2OLD.2 .g
mulgghm2OLD.3
mulgghm2OLD.4
Assertion
Ref Expression
mulgghm2OLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mulgghm2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3
2 zsubrg 18450 . . . 4 SubRingfld
3 mulgghm2OLD.1 . . . . 5 flds
43subrgring 17411 . . . 4 SubRingfld
5 ringgrp 17182 . . . 4
62, 4, 5mp2b 10 . . 3
71, 6jctil 537 . 2
8 mulgghm2OLD.4 . . . . . . 7
9 mulgghm2OLD.2 . . . . . . 7 .g
108, 9mulgcl 16138 . . . . . 6
11103expa 1197 . . . . 5
1211an32s 804 . . . 4
13 mulgghm2OLD.3 . . . 4
1412, 13fmptd 6040 . . 3
15 eqid 2443 . . . . . . . . 9
168, 9, 15mulgdir 16146 . . . . . . . 8
17163exp2 1215 . . . . . . 7
1817imp42 594 . . . . . 6
1918an32s 804 . . . . 5
20 zaddcl 10911 . . . . . . 7
2120adantl 466 . . . . . 6
22 oveq1 6288 . . . . . . 7
23 ovex 6309 . . . . . . 7
2422, 13, 23fvmpt 5941 . . . . . 6
2521, 24syl 16 . . . . 5
26 oveq1 6288 . . . . . . . 8
27 ovex 6309 . . . . . . . 8
2826, 13, 27fvmpt 5941 . . . . . . 7
29 oveq1 6288 . . . . . . . 8
30 ovex 6309 . . . . . . . 8
3129, 13, 30fvmpt 5941 . . . . . . 7
3228, 31oveqan12d 6300 . . . . . 6
3332adantl 466 . . . . 5
3419, 25, 333eqtr4d 2494 . . . 4
3534ralrimivva 2864 . . 3
3614, 35jca 532 . 2
373subrgbas 17417 . . . 4 SubRingfld
382, 37ax-mp 5 . . 3
39 cnfldadd 18404 . . . . 5 fld
403, 39ressplusg 14721 . . . 4 SubRingfld
412, 40ax-mp 5 . . 3
4238, 8, 41, 15isghm 16246 . 2
437, 36, 42sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793   cmpt 4495  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   caddc 9498  cz 10871  cbs 14614   ↾s cress 14615   cplusg 14679  cgrp 16032  .gcmg 16035   cghm 16243  crg 17177  SubRingcsubrg 17404  ℂfldccnfld 18399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-seq 12090  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-cnfld 18400 This theorem is referenced by:  mulgrhmOLD  18513
 Copyright terms: Public domain W3C validator