MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm2 Structured version   Unicode version

Theorem mulgghm2 18836
Description: The powers of a group element give a homomorphism from 
ZZ to a group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
mulgghm2.f  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  )
)
mulgghm2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mulgghm2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  ->  F  e.  (ring  GrpHom  R ) )
Distinct variable groups:    B, n    R, n    .x. , n    .1. , n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem mulgghm2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
2 zringgrp 18815 . . 3  |-ring  e.  Grp
31, 2jctil 537 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  -> 
(ring 
e.  Grp  /\  R  e. 
Grp ) )
4 mulgghm2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 mulgghm2.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  R )
64, 5mulgcl 16485 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  .1.  e.  B )  ->  (
n  .x.  .1.  )  e.  B )
763expa 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  .1.  e.  B
)  ->  ( n  .x.  .1.  )  e.  B
)
87an32s 807 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  .1.  )  e.  B
)
9 mulgghm2.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  )
)
108, 9fmptd 6035 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  ->  F : ZZ --> B )
11 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
124, 5, 11mulgdir 16493 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  .1.  e.  B ) )  ->  ( ( x  +  y )  .x.  .1.  )  =  (
( x  .x.  .1.  ) ( +g  `  R
) ( y  .x.  .1.  ) ) )
13123exp2 1217 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
x  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  (  .1.  e.  B  -> 
( ( x  +  y )  .x.  .1.  )  =  ( (
x  .x.  .1.  )
( +g  `  R ) ( y  .x.  .1.  ) ) ) ) ) )
1413imp42 594 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  .1.  e.  B )  ->  (
( x  +  y )  .x.  .1.  )  =  ( ( x 
.x.  .1.  ) ( +g  `  R ) ( y  .x.  .1.  )
) )
1514an32s 807 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  +  y )  .x.  .1.  )  =  ( (
x  .x.  .1.  )
( +g  `  R ) ( y  .x.  .1.  ) ) )
16 zaddcl 10947 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
18 oveq1 6287 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( x  +  y )  ->  (
n  .x.  .1.  )  =  ( ( x  +  y )  .x.  .1.  ) )
19 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  y ) 
.x.  .1.  )  e.  _V
2018, 9, 19fvmpt 5934 . . . . . 6  |-  ( ( x  +  y )  e.  ZZ  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( ( x  +  y )  .x.  .1.  ) )
2117, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( x  +  y ) 
.x.  .1.  ) )
22 oveq1 6287 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
n  .x.  .1.  )  =  ( x  .x.  .1.  ) )
23 ovex 6308 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.x.  .1.  )  e.  _V
2422, 9, 23fvmpt 5934 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( F `  x )  =  ( x  .x.  .1.  ) )
25 oveq1 6287 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  y  ->  (
n  .x.  .1.  )  =  ( y  .x.  .1.  ) )
26 ovex 6308 . . . . . . . 8  |-  ( y 
.x.  .1.  )  e.  _V
2725, 9, 26fvmpt 5934 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( F `  y )  =  ( y  .x.  .1.  ) )
2824, 27oveqan12d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  x ) ( +g  `  R ) ( F `
 y ) )  =  ( ( x 
.x.  .1.  ) ( +g  `  R ) ( y  .x.  .1.  )
) )
2928adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  R ) ( F `
 y ) )  =  ( ( x 
.x.  .1.  ) ( +g  `  R ) ( y  .x.  .1.  )
) )
3015, 21, 293eqtr4d 2455 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  R
) ( F `  y ) ) )
3130ralrimivva 2827 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  R ) ( F `  y
) ) )
3210, 31jca 532 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  -> 
( F : ZZ --> B  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( F `  ( x  +  y
) )  =  ( ( F `  x
) ( +g  `  R
) ( F `  y ) ) ) )
33 zringbas 18816 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
34 zringplusg 18817 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` ring )
3533, 4, 34, 11isghm 16593 . 2  |-  ( F  e.  (ring  GrpHom  R )  <->  ( (ring  e.  Grp  /\  R  e.  Grp )  /\  ( F : ZZ
--> B  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( F `  ( x  +  y
) )  =  ( ( F `  x
) ( +g  `  R
) ( F `  y ) ) ) ) )
363, 32, 35sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  B )  ->  F  e.  (ring  GrpHom  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756    |-> cmpt 4455   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    + caddc 9527   ZZcz 10907   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   Grpcgrp 16379  .gcmg 16382    GrpHom cghm 16590  ℤringzring 18810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cmn 17126  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-cnfld 18743  df-zring 18811
This theorem is referenced by:  mulgrhm  18837  frgpcyg  18912
  Copyright terms: Public domain W3C validator