MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Unicode version

Theorem mulgghm 17161
Description: The map from  x to  n x for a fixed integer  n is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgghm  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2402 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 ablgrp 17127 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
5 mulgmhm.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
61, 5mulgcl 16483 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
73, 6syl3an1 1263 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  x  e.  B
)  ->  ( M  .x.  x )  e.  B
)
9 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 6033 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 978 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
121, 5, 2mulgdi 17159 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1311, 12sylan2br 474 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1413anassrs 646 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
151, 2grpcl 16387 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
16153expb 1198 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
174, 16sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
18 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
19 ovex 6306 . . . . 5  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2018, 9, 19fvmpt 5932 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2117, 20syl 17 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
22 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
23 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2422, 9, 23fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
25 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
26 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2725, 9, 26fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2824, 27oveqan12d 6297 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
2928adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3014, 21, 293eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
311, 1, 2, 2, 4, 4, 10, 30isghmd 16600 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ZZcz 10905   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   Grpcgrp 16377  .gcmg 16380    GrpHom cghm 16588   Abelcabl 17123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mulg 16384  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-abl 17125
This theorem is referenced by:  gsummulglem  17287
  Copyright terms: Public domain W3C validator