MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Unicode version

Theorem mulgghm 16307
Description: The map from  x to  n x for a fixed integer  n is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgmhm.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgghm  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, M    x,  .x.

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 ablgrp 16273 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
5 mulgmhm.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
61, 5mulgcl 15635 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
73, 6syl3an1 1251 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( M  .x.  x )  e.  B )
873expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  x  e.  B
)  ->  ( M  .x.  x )  e.  B
)
9 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )
108, 9fmptd 5862 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) : B --> B )
11 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) ) )
121, 5, 2mulgdi 16305 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
1311, 12sylan2br 476 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
1413anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( M 
.x.  y ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  z
) ) )
151, 2grpcl 15542 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
16153expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  B )
174, 16sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
18 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
19 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e. 
_V
2018, 9, 19fvmpt 5769 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( M  .x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2117, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( M 
.x.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
22 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  y
) )
23 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  y )  e. 
_V
2422, 9, 23fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
)  =  ( M 
.x.  y ) )
25 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( M  .x.  x )  =  ( M  .x.  z
) )
26 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( M 
.x.  z )  e. 
_V
2725, 9, 26fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  z
)  =  ( M 
.x.  z ) )
2824, 27oveqan12d 6105 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
2928adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  z ) )  =  ( ( M  .x.  y ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  z ) ) )
3014, 21, 293eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) ) `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( M  .x.  x
) ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( x  e.  B  |->  ( M 
.x.  x ) ) `
 z ) ) )
311, 1, 2, 2, 4, 4, 10, 30isghmd 15747 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( M  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ZZcz 10638   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402  .gcmg 15406    GrpHom cghm 15735   Abelcabel 16269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mulg 15539  df-ghm 15736  df-cmn 16270  df-abl 16271
This theorem is referenced by:  gsummulglem  16427
  Copyright terms: Public domain W3C validator