MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Unicode version

Theorem mulgfvi 16263
Description: The group multiple function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfvi  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2 fvi 5831 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  G )
32eqcomd 2390 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  G  =  (  _I  `  G
) )
43fveq2d 5778 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
5 fvprc 5768 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
6 fvprc 5768 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  (/) )
76fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (.g `  (/) ) )
8 base0 14675 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  (.g `  (/) )  =  (.g `  (/) )
108, 9mulgfn 16262 . . . . . . 7  |-  (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )
11 xp0 5335 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  (/) )  =  (/)
1211fneq2i 5584 . . . . . . 7  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )  <->  (.g `  (/) )  Fn  (/) )
1310, 12mpbi 208 . . . . . 6  |-  (.g `  (/) )  Fn  (/)
14 fn0 5608 . . . . . 6  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  (/)  <->  (.g `  (/) )  =  (/) )
1513, 14mpbi 208 . . . . 5  |-  (.g `  (/) )  =  (/)
167, 15syl6eq 2439 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (/) )
175, 16eqtr4d 2426 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
184, 17pm2.61i 164 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (  _I  `  G ) )
191, 18eqtri 2411 1  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711    _I cid 4704    X. cxp 4911    Fn wfn 5491   ` cfv 5496   ZZcz 10781  .gcmg 16173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-neg 9721  df-z 10782  df-seq 12011  df-slot 14638  df-base 14639  df-mulg 16177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator