MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Unicode version

Theorem mulgfvi 16759
Description: The group multiple function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfvi  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2 fvi 5937 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  G )
32eqcomd 2431 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  G  =  (  _I  `  G
) )
43fveq2d 5884 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
5 fvprc 5874 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
6 fvprc 5874 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  (/) )
76fveq2d 5884 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (.g `  (/) ) )
8 base0 15159 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  (.g `  (/) )  =  (.g `  (/) )
108, 9mulgfn 16758 . . . . . . 7  |-  (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )
11 xp0 5273 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  (/) )  =  (/)
1211fneq2i 5688 . . . . . . 7  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )  <->  (.g `  (/) )  Fn  (/) )
1310, 12mpbi 212 . . . . . 6  |-  (.g `  (/) )  Fn  (/)
14 fn0 5712 . . . . . 6  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  (/)  <->  (.g `  (/) )  =  (/) )
1513, 14mpbi 212 . . . . 5  |-  (.g `  (/) )  =  (/)
167, 15syl6eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (/) )
175, 16eqtr4d 2467 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
184, 17pm2.61i 168 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (  _I  `  G ) )
191, 18eqtri 2452 1  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082   (/)c0 3763    _I cid 4762    X. cxp 4850    Fn wfn 5595   ` cfv 5600   ZZcz 10943  .gcmg 16669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-inf2 8154  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-neg 9869  df-z 10944  df-seq 12219  df-slot 15122  df-base 15123  df-mulg 16673
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator