MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Unicode version

Theorem mulgfvi 15735
Description: The group multiple function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfvi  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
2 fvi 5849 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  G )
32eqcomd 2459 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  G  =  (  _I  `  G
) )
43fveq2d 5795 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
5 fvprc 5785 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
6 fvprc 5785 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (  _I  `  G )  =  (/) )
76fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (.g `  (/) ) )
8 base0 14317 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
9 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (.g `  (/) )  =  (.g `  (/) )
108, 9mulgfn 15734 . . . . . . 7  |-  (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )
11 xp0 5356 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  (/) )  =  (/)
1211fneq2i 5606 . . . . . . 7  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  ( ZZ  X.  (/) )  <->  (.g `  (/) )  Fn  (/) )
1310, 12mpbi 208 . . . . . 6  |-  (.g `  (/) )  Fn  (/)
14 fn0 5630 . . . . . 6  |-  ( (.g `  (/) )  Fn  (/)  <->  (.g `  (/) )  =  (/) )
1513, 14mpbi 208 . . . . 5  |-  (.g `  (/) )  =  (/)
167, 15syl6eq 2508 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  (  _I  `  G
) )  =  (/) )
175, 16eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (.g `  (  _I  `  G
) ) )
184, 17pm2.61i 164 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (  _I  `  G ) )
191, 18eqtri 2480 1  |-  .x.  =  (.g
`  (  _I  `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   (/)c0 3737    _I cid 4731    X. cxp 4938    Fn wfn 5513   ` cfv 5518   ZZcz 10749  .gcmg 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-neg 9701  df-z 10750  df-seq 11910  df-slot 14282  df-base 14283  df-mulg 15652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator