MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0i Structured version   Unicode version

Theorem mulge0i 10035
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1  |-  A  e.  RR
lt2.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
mulge0i  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0i
StepHypRef Expression
1 lt2.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt2.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 mulge0 10006 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
43an4s 824 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
51, 2, 4mpanl12 680 1  |-  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B )  -> 
0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1836   class class class wbr 4380  (class class class)co 6214   RRcr 9420   0cc0 9421    x. cmul 9426    <_ cle 9558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-ov 6217  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563
This theorem is referenced by:  dvdslelem  14051  siilem1  25904  siii  25906  normlem6  26170  bcsiALT  26234
  Copyright terms: Public domain W3C validator