MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Unicode version

Theorem mulge0d 9914
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 9855 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   RRcr 9279   0cc0 9280    x. cmul 9285    <_ cle 9417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422
This theorem is referenced by:  supmul1  10293  faclbnd6  12073  sqrmul  12747  sqreulem  12845  climcnds  13312  nmoi  20305  nmoleub2lem3  20668  ipcau2  20747  trirn  20897  itg1ge0  21162  itg1ge0a  21187  itgmulc2lem1  21307  bddmulibl  21314  dvlip  21463  dvfsumlem4  21499  dvfsum2  21504  plyeq0lem  21676  radcnvlem1  21876  dvradcnv  21884  cxpsqrlem  22145  abscxpbnd  22189  heron  22231  asinlem3  22264  vmadivsum  22729  rpvmasumlem  22734  dchrisumlem2  22737  dchrisum0flblem2  22756  dchrisum0re  22760  mulog2sumlem2  22782  vmalogdivsum2  22785  2vmadivsumlem  22787  selbergb  22796  selberg2lem  22797  selberg2b  22799  chpdifbndlem1  22800  selberg3lem2  22805  selberg4lem1  22807  pntrlog2bndlem1  22824  pntrlog2bndlem2  22825  pntrlog2bndlem4  22827  pntrlog2bndlem6  22830  pntrlog2bnd  22831  pntlemn  22847  ostth2lem3  22882  ttgcontlem1  23129  brbtwn2  23149  colinearalglem4  23153  ax5seglem3  23175  branmfn  25507  mul2lt0bi  26040  eulerpartlemgc  26743  iblmulc2nc  28454  itgmulc2nclem1  28455  geomcau  28652  rrnequiv  28731  pellexlem2  29168  pellexlem6  29172  pell1qrge1  29208  rmxypos  29287  ltrmxnn0  29289  fmul01  29758  stoweidlem1  29793  stoweidlem16  29808  stoweidlem26  29818  stoweidlem38  29830  wallispilem4  29860  wallispi  29862  wallispi2lem1  29863  stirlinglem1  29866  stirlinglem5  29870  stirlinglem6  29871  stirlinglem7  29872  stirlinglem10  29875  stirlinglem11  29876  stirlinglem15  29880  stirlingr  29882
  Copyright terms: Public domain W3C validator