MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Unicode version

Theorem mulge0d 10129
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 10070 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1229 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
This theorem is referenced by:  supmul1  10508  faclbnd6  12345  sqrtmul  13056  sqreulem  13155  climcnds  13626  nmoi  20998  nmoleub2lem3  21361  ipcau2  21440  trirn  21590  itg1ge0  21856  itg1ge0a  21881  itgmulc2lem1  22001  bddmulibl  22008  dvlip  22157  dvfsumlem4  22193  dvfsum2  22198  plyeq0lem  22370  radcnvlem1  22570  dvradcnv  22578  cxpsqrtlem  22839  abscxpbnd  22883  heron  22925  asinlem3  22958  vmadivsum  23423  rpvmasumlem  23428  dchrisumlem2  23431  dchrisum0flblem2  23450  dchrisum0re  23454  mulog2sumlem2  23476  vmalogdivsum2  23479  2vmadivsumlem  23481  selbergb  23490  selberg2lem  23491  selberg2b  23493  chpdifbndlem1  23494  selberg3lem2  23499  selberg4lem1  23501  pntrlog2bndlem1  23518  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem6  23524  pntrlog2bnd  23525  pntlemn  23541  ostth2lem3  23576  ttgcontlem1  23892  brbtwn2  23912  colinearalglem4  23916  ax5seglem3  23938  branmfn  26728  mul2lt0bi  27265  eulerpartlemgc  27969  iblmulc2nc  29685  itgmulc2nclem1  29686  geomcau  29883  rrnequiv  29962  pellexlem2  30398  pellexlem6  30402  pell1qrge1  30438  rmxypos  30517  ltrmxnn0  30519  lcmgcdlem  30840  nzprmdif  30852  fmul01  31158  dvbdfbdioolem2  31287  stoweidlem1  31329  stoweidlem16  31344  stoweidlem26  31354  stoweidlem38  31366  wallispilem4  31396  wallispi  31398  wallispi2lem1  31399  stirlinglem1  31402  stirlinglem5  31406  stirlinglem6  31407  stirlinglem7  31408  stirlinglem10  31411  stirlinglem11  31412  stirlinglem15  31416  stirlingr  31418  fourierdlem42  31477
  Copyright terms: Public domain W3C validator