MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mulge0d 10217
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 10159 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1277 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RRcr 9563   0cc0 9564    x. cmul 9569    <_ cle 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706
This theorem is referenced by:  supmul1  10603  mul2lt0bi  11430  faclbnd6  12515  sqrtmul  13371  sqreulem  13470  climcnds  13957  lcmgcdlem  14619  nmoi  21781  nmoiOLD  21797  nmoleub2lem3  22177  ipcau2  22256  trirn  22402  itg1ge0  22692  itg1ge0a  22717  itgmulc2lem1  22837  bddmulibl  22844  dvlip  22993  dvfsumlem4  23029  dvfsum2  23034  plyeq0lem  23212  radcnvlem1  23416  dvradcnv  23424  cxpsqrtlem  23695  abscxpbnd  23741  heron  23812  asinlem3  23845  vmadivsum  24368  rpvmasumlem  24373  dchrisumlem2  24376  dchrisum0flblem2  24395  dchrisum0re  24399  mulog2sumlem2  24421  vmalogdivsum2  24424  2vmadivsumlem  24426  selbergb  24435  selberg2lem  24436  selberg2b  24438  chpdifbndlem1  24439  selberg3lem2  24444  selberg4lem1  24446  pntrlog2bndlem1  24463  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bndlem4  24466  pntrlog2bndlem6  24469  pntrlog2bnd  24470  pntlemn  24486  ostth2lem3  24521  ttgcontlem1  24963  brbtwn2  24983  colinearalglem4  24987  ax5seglem3  25009  branmfn  27806  eulerpartlemgc  29243  iblmulc2nc  32051  itgmulc2nclem1  32052  geomcau  32132  rrnequiv  32211  pellexlem2  35718  pellexlem6  35722  pell1qrge1  35760  rmxypos  35841  ltrmxnn0  35843  nzprmdif  36711  fmul01  37695  dvbdfbdioolem2  37838  stoweidlem1  37898  stoweidlem16  37913  stoweidlem26  37923  stoweidlem38  37936  wallispilem4  37967  wallispi  37969  wallispi2lem1  37970  stirlinglem1  37973  stirlinglem5  37977  stirlinglem6  37978  stirlinglem7  37979  stirlinglem10  37982  stirlinglem11  37983  stirlinglem15  37987  stirlingr  37989  fourierdlem42  38049  fourierdlem42OLD  38050  rrndistlt  38196
  Copyright terms: Public domain W3C validator