MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Unicode version

Theorem mulge0d 10132
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 10073 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1228 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   class class class wbr 4434  (class class class)co 6278   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
This theorem is referenced by:  supmul1  10511  faclbnd6  12353  sqrtmul  13069  sqreulem  13168  climcnds  13639  nmoi  21105  nmoleub2lem3  21468  ipcau2  21547  trirn  21697  itg1ge0  21963  itg1ge0a  21988  itgmulc2lem1  22108  bddmulibl  22115  dvlip  22264  dvfsumlem4  22300  dvfsum2  22305  plyeq0lem  22477  radcnvlem1  22677  dvradcnv  22685  cxpsqrtlem  22952  abscxpbnd  22996  heron  23038  asinlem3  23071  vmadivsum  23536  rpvmasumlem  23541  dchrisumlem2  23544  dchrisum0flblem2  23563  dchrisum0re  23567  mulog2sumlem2  23589  vmalogdivsum2  23592  2vmadivsumlem  23594  selbergb  23603  selberg2lem  23604  selberg2b  23606  chpdifbndlem1  23607  selberg3lem2  23612  selberg4lem1  23614  pntrlog2bndlem1  23631  pntrlog2bndlem2  23632  pntrlog2bndlem4  23634  pntrlog2bndlem6  23637  pntrlog2bnd  23638  pntlemn  23654  ostth2lem3  23689  ttgcontlem1  24057  brbtwn2  24077  colinearalglem4  24081  ax5seglem3  24103  branmfn  26893  mul2lt0bi  27438  eulerpartlemgc  28171  iblmulc2nc  30052  itgmulc2nclem1  30053  geomcau  30224  rrnequiv  30303  pellexlem2  30738  pellexlem6  30742  pell1qrge1  30778  rmxypos  30857  ltrmxnn0  30859  lcmgcdlem  31185  nzprmdif  31197  fmul01  31502  dvbdfbdioolem2  31630  stoweidlem1  31672  stoweidlem16  31687  stoweidlem26  31697  stoweidlem38  31709  wallispilem4  31739  wallispi  31741  wallispi2lem1  31742  stirlinglem1  31745  stirlinglem5  31749  stirlinglem6  31750  stirlinglem7  31751  stirlinglem10  31754  stirlinglem11  31755  stirlinglem15  31759  stirlingr  31761  fourierdlem42  31820
  Copyright terms: Public domain W3C validator