MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Structured version   Unicode version

Theorem mulge0b 10426
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 490 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  <-> 
( -.  A  <_ 
0  \/  -.  B  <_  0 ) )
2 0re 9594 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 ltnle 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
42, 3mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
54adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
6 ltnle 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
72, 6mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
87adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
95, 8orbi12d 714 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  \/  0  < 
B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
11 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
122, 11mpan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
1312imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <_  A )
1413ad2ant2rl 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  A )
15 remulcl 9575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
1615adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
17 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
18 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR )
19 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <  A )
20 divge0 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  A ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  A
) )
22 recn 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2322ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  CC )
24 recn 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  CC )
26 gt0ne0 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
2726ad2ant2rl 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  =/=  0 )
2823, 25, 27divcan3d 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  A )  =  B )
2921, 28breqtrd 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  B )
3014, 29jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
3130expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  A  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
3215adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
33 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
34 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
35 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <  B )
36 divge0 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  B ) )
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  B
) )
3824ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  A  e.  CC )
3922ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  CC )
40 gt0ne0 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
4140ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  =/=  0 )
4238, 39, 41divcan4d 10340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
4337, 42breqtrd 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  A )
44 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
452, 44mpan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
4645imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  B )
4746ad2ant2l 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  B )
4843, 47jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
4948expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  B  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5031, 49jaod 381 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  -> 
( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5110, 50sylbird 238 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( -.  A  <_  0  \/ 
-.  B  <_  0
)  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
521, 51syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) )
5352orrd 379 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5453ex 435 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) ) )
55 le0neg1 10073 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
56 le0neg1 10073 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
5755, 56bi2anan9 881 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  <->  ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) ) )
58 renegcl 9888 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
59 renegcl 9888 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
60 mulge0 10083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6160an4s 833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  /\  (
0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6261ex 435 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_ 
-u B )  -> 
0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
6358, 59, 62syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
64 mul2neg 10009 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6524, 22, 64syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6665breq2d 4378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( -u A  x.  -u B
)  <->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
6763, 66sylibd 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) ) )
6857, 67sylbid 218 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
69 mulge0 10083 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
7069an4s 833 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
7170ex 435 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
7268, 71jaod 381 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
7354, 72impbid 193 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9812    / cdiv 10220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221
This theorem is referenced by:  mulle0b  10427
  Copyright terms: Public domain W3C validator