MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Structured version   Unicode version

Theorem mulge0b 10424
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 488 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  <-> 
( -.  A  <_ 
0  \/  -.  B  <_  0 ) )
2 0re 9608 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 ltnle 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
6 ltnle 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
72, 6mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
95, 8orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  \/  0  < 
B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
11 ltle 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
122, 11mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <_  A )
1413ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  A )
15 remulcl 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
17 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
18 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <  A )
20 divge0 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  A ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  A
) )
22 recn 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  CC )
24 recn 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  CC )
26 gt0ne0 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
2726ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  =/=  0 )
2823, 25, 27divcan3d 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  A )  =  B )
2921, 28breqtrd 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  B )
3014, 29jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
3130expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  A  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
3215adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
34 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
35 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <  B )
36 divge0 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  B ) )
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  B
) )
3824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  A  e.  CC )
3922ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  CC )
40 gt0ne0 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
4140ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  =/=  0 )
4238, 39, 41divcan4d 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
4337, 42breqtrd 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  A )
44 ltle 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
452, 44mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  B )
4746ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  B )
4843, 47jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
4948expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  B  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5031, 49jaod 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  -> 
( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5110, 50sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( -.  A  <_  0  \/ 
-.  B  <_  0
)  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
521, 51syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) )
5352orrd 378 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5453ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) ) )
55 le0neg1 10072 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
56 le0neg1 10072 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
5755, 56bi2anan9 871 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  <->  ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) ) )
58 renegcl 9894 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
59 renegcl 9894 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
60 mulge0 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6160an4s 824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  /\  (
0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6261ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_ 
-u B )  -> 
0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
6358, 59, 62syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
64 mul2neg 10008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6524, 22, 64syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6665breq2d 4465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( -u A  x.  -u B
)  <->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
6763, 66sylibd 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) ) )
6857, 67sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
69 mulge0 10082 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
7069an4s 824 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
7170ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
7268, 71jaod 380 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
7354, 72impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818    / cdiv 10218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219
This theorem is referenced by:  mulle0b  10425
  Copyright terms: Public domain W3C validator