MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Structured version   Unicode version

Theorem mulge0b 10195
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 485 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  <-> 
( -.  A  <_ 
0  \/  -.  B  <_  0 ) )
2 0re 9382 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 ltnle 9450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
42, 3mpan 665 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
54adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
6 ltnle 9450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
72, 6mpan 665 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
87adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
95, 8orbi12d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  \/  0  < 
B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
109adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  <->  ( -.  A  <_  0  \/  -.  B  <_  0 ) ) )
11 ltle 9459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
122, 11mpan 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <_  A )
1413ad2ant2rl 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  A )
15 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
1615adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
17 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
18 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR )
19 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <  A )
20 divge0 10194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  A ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  A
) )
22 recn 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2322ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  CC )
24 recn 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2524ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  CC )
26 gt0ne0 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
2726ad2ant2rl 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  A  =/=  0 )
2823, 25, 27divcan3d 10108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  A )  =  B )
2921, 28breqtrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  0  <_  B )
3014, 29jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  A ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
3130expr 612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  A  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
3215adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
33 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
34 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
35 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <  B )
36 divge0 10194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B
)  /  B ) )
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( ( A  x.  B )  /  B
) )
3824ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  A  e.  CC )
3922ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  e.  CC )
40 gt0ne0 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
4140ad2ant2l 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  B  =/=  0 )
4238, 39, 41divcan4d 10109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
( A  x.  B
)  /  B )  =  A )
4337, 42breqtrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  A )
44 ltle 9459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
452, 44mpan 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  B )
4746ad2ant2l 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  B )
4843, 47jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  /\  0  <  B ) )  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )
4948expr 612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( 0  <  B  ->  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5031, 49jaod 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( (
0  <  A  \/  0  <  B )  -> 
( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5110, 50sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( -.  A  <_  0  \/ 
-.  B  <_  0
)  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
521, 51syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( -.  ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  ->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) )
5352orrd 378 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <_  ( A  x.  B )
)  ->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) )
5453ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) ) ) )
55 le0neg1 9843 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
56 le0neg1 9843 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
5755, 56bi2anan9 863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  <->  ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) ) )
58 renegcl 9668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
59 renegcl 9668 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
60 mulge0 9853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6160an4s 817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  /\  (
0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B
) )
6261ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_ 
-u B )  -> 
0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
6358, 59, 62syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( -u A  x.  -u B ) ) )
64 mul2neg 9780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6524, 22, 64syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
6665breq2d 4301 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( -u A  x.  -u B
)  <->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
6763, 66sylibd 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  -u A  /\  0  <_  -u B )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) ) )
6857, 67sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
69 mulge0 9853 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
7069an4s 817 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  x.  B
) )
7170ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) ) )
7268, 71jaod 380 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  (
0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A  x.  B )
) )
7354, 72impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  ( ( A  <_  0  /\  B  <_  0 )  \/  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   -ucneg 9592    / cdiv 9989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990
This theorem is referenced by:  mulle0b  10196
  Copyright terms: Public domain W3C validator