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Theorem mulgdirlem 16488
Description: Lemma for mulgdir 16489. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Grp )
2 grpmnd 16384 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Mnd )
4 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  NN0 )
5 simprr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
6 simpl23 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  X  e.  B )
7 mulgnndir.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 mulgnndir.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
9 mulgnndir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
107, 8, 9mulgnn0dir 16487 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
1211anassrs 646 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
13 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
14 simp22 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
1514adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
16 simpl23 1077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
17 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
187, 8, 17mulgneg 16482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
1913, 15, 16, 18syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
2019oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
217, 8mulgcl 16481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
2213, 15, 16, 21syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
23 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
247, 9, 23, 17grplinv 16418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g
`  G ) )
2513, 22, 24syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) 
.+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2620, 25eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2726oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) ) )
28 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
29 nn0z 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
317, 8mulgcl 16481 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )
3213, 30, 16, 31syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  e.  B )
337, 9, 23grprid 16403 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N ) 
.x.  X ) )
3413, 32, 33syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )
3527, 34eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X ) )
36 nn0z 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
3736ad2antll 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
387, 8mulgcl 16481 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
3913, 37, 16, 38syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B )
407, 9grpass 16386 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4113, 32, 39, 22, 40syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4213, 2syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
43 simprr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
447, 8, 9mulgnn0dir 16487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( M  +  N )  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  +  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X
) ) )
4542, 28, 43, 16, 44syl13anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) ) )
46 simp21 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4746zcnd 11008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
4814zcnd 11008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4947, 48addcld 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  CC )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
5148adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  CC )
5250, 51negsubd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  ( ( M  +  N )  -  N ) )
5347adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  CC )
5453, 51pncand 9967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  -  N )  =  M )
5552, 54eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  M )
5655oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) )
5745, 56eqtr3d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  X
) )
5857oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
5941, 58eqtr3d 2445 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6035, 59eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6160anassrs 646 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
62 elznn0 10919 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6362simprbi 462 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6414, 63syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6564adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )
6612, 61, 65mpjaodan 787 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
67 simpl1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Grp )
6846adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
69 simpl23 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
707, 8mulgcl 16481 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
7167, 68, 69, 70syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B
)
7268znegcld 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  ZZ )
737, 8mulgcl 16481 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
7467, 72, 69, 73syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
75293ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
7675adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
7767, 76, 69, 31syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B
)
787, 9grpass 16386 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u M  .x.  X )  e.  B  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
7967, 71, 74, 77, 78syl13anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
807, 8, 17mulgneg 16482 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
8167, 68, 69, 80syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )
8281oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) ) )
837, 9, 23, 17grprinv 16419 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8467, 71, 83syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8582, 84eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
8685oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
877, 9, 23grplid 16402 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8867, 77, 87syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8986, 88eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
9067, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
91 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
92 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
937, 8, 9mulgnn0dir 16487 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) ) 
.x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9490, 91, 92, 69, 93syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9547adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
9695negcld 9953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  CC )
9749adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
9896, 97addcomd 9815 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u M ) )
9997, 95negsubd 9972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  + 
-u M )  =  ( ( M  +  N )  -  M
) )
10048adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
10195, 100pncan2d 9968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
10298, 99, 1013eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  N )
103102oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
10494, 103eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( N  .x.  X ) )
105104oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
10679, 89, 1053eqtr3d 2451 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
107 elznn0 10919 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
108107simprbi 462 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
10946, 108syl 17 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
11066, 106, 109mpjaodan 787 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520    + caddc 9524    - cmin 9840   -ucneg 9841   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241   Grpcgrp 16375   invgcminusg 16376  .gcmg 16378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382
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