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Theorem mulgdirlem 15650
Description: Lemma for mulgdir 15651. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Grp )
2 grpmnd 15549 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  G  e.  Mnd )
4 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  NN0 )
5 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
6 simpl23 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  X  e.  B )
7 mulgnndir.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 mulgnndir.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
9 mulgnndir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
107, 8, 9mulgnn0dir 15649 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
1211anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
13 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
14 simp22 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
1514adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
16 simpl23 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
17 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
187, 8, 17mulgneg 15644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
1913, 15, 16, 18syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
2019oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
217, 8mulgcl 15643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
2213, 15, 16, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
23 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
247, 9, 23, 17grplinv 15583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g
`  G ) )
2513, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) 
.+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2620, 25eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
2726oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) ) )
28 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
29 nn0z 10668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
317, 8mulgcl 15643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )
3213, 30, 16, 31syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  e.  B )
337, 9, 23grprid 15568 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N ) 
.x.  X ) )
3413, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )
3527, 34eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X ) )
36 nn0z 10668 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
3736ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
387, 8mulgcl 15643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
3913, 37, 16, 38syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B )
407, 9grpass 15551 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N  .x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4113, 32, 39, 22, 40syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( ( -u N  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4213, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
43 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
447, 8, 9mulgnn0dir 15649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( M  +  N )  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  +  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( ( M  +  N ) 
.x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X
) ) )
4542, 28, 43, 16, 44syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( ( ( M  +  N
)  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) ) )
46 simp21 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4746zcnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
4814zcnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4947, 48addcld 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
5148adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  CC )
5250, 51negsubd 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  ( ( M  +  N )  -  N ) )
5347adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  CC )
5453, 51pncand 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  -  N )  =  M )
5552, 54eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  +  -u N
)  =  M )
5655oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  +  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) )
5745, 56eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  X
) )
5857oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( ( M  +  N )  .x.  X )  .+  ( -u N  .x.  X ) )  .+  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
5941, 58eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( ( M  +  N )  .x.  X
)  .+  ( ( -u N  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6035, 59eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6160anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
62 elznn0 10660 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6362simprbi 464 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6414, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
6564adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )
6612, 61, 65mpjaodan 784 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
67 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Grp )
6846adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
69 simpl23 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
707, 8mulgcl 15643 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
7167, 68, 69, 70syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B
)
7268znegcld 10748 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  ZZ )
737, 8mulgcl 15643 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
7467, 72, 69, 73syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  e.  B
)
75293ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
7675adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
7767, 76, 69, 31syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  e.  B
)
787, 9grpass 15551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( -u M  .x.  X )  e.  B  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B ) )  ->  ( (
( M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
7967, 71, 74, 77, 78syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( -u M  .x.  X ) 
.+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) ) )
807, 8, 17mulgneg 15644 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
8167, 68, 69, 80syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )
8281oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) ) )
837, 9, 23, 17grprinv 15584 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8467, 71, 83syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8582, 84eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( -u M  .x.  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
8685oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
877, 9, 23grplid 15567 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8867, 77, 87syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
8986, 88eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( -u M  .x.  X ) )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
9067, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  G  e.  Mnd )
91 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
92 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
937, 8, 9mulgnn0dir 15649 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) ) 
.x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9490, 91, 92, 69, 93syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
9547adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
9695negcld 9705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  -u M  e.  CC )
9749adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  CC )
9896, 97addcomd 9570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u M ) )
9997, 95negsubd 9724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  + 
-u M )  =  ( ( M  +  N )  -  M
) )
10048adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
10195, 100pncan2d 9720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
10298, 99, 1013eqtrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( -u M  +  ( M  +  N ) )  =  N )
103102oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  +  ( M  +  N ) )  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
10494, 103eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( ( M  +  N )  .x.  X
) )  =  ( N  .x.  X ) )
105104oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( ( -u M  .x.  X )  .+  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
10679, 89, 1053eqtr3d 2482 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  /\  -u M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
107 elznn0 10660 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
108107simprbi 464 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
10946, 108syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
11066, 106, 109mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280    + caddc 9284    - cmin 9594   -ucneg 9595   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   Basecbs 14173   +g cplusg 14237   0gc0g 14377   Mndcmnd 15408   Grpcgrp 15409   invgcminusg 15410  .gcmg 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-seq 11806  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-mulg 15547
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